Cho số phức \(z\), \({z_1}\), \({z_2}\) thoả mãn \(\sqrt 2 \left| {{z_1}} \right| = \sqrt 2 \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 6\sqrt 2 \). Giá trị nhỏ nhất của \(P = \left| z \right| + \left| {z – {z_1}} \right| + \left| {z – {z_2}} \right|\) bằng

Câu hỏi: Cho số phức \(z\), \({z_1}\), \({z_2}\) thoả mãn \(\sqrt 2 \left| {{z_1}} \right| = \sqrt 2 \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 6\sqrt 2 \). Giá trị nhỏ nhất của \(P = \left| z \right| + \left| {z – {z_1}} \right| + \left| {z – {z_2}} \right|\) bằng A. \(6\sqrt {2 + \sqrt 2 } \).  B. \(3\sqrt {2 + \sqrt 3 } \).  C. \(6\sqrt {2 + \sqrt 3 } \).  D. \(\frac{9}{2}\sqrt {2 + \sqrt 3 } \). LỜI GIẢI CHI TIẾT Từ \(\sqrt 2 \left| {{z_1}} \right| = \sqrt 2 \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 6\sqrt 2 \) ta có \(\left| {{z_1}} \right| = 6\); \(\left| {{z_2}} \right| = 6\); \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 6\sqrt 2 \). Gọi \(M,\)\({M_1},\)\({M_2}\) lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức \(z\), \({z_1}\), \({z_2}\). \({M_1}\), \({M_2}\) đều nằm trên đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R = 6\). Do \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 6\sqrt 2 \) nên \({M_1}{M_2} = 6\sqrt 2 \).

\(P = \left| z \right| + \left| {z – {z_1}} \right| + \left| {z – {z_2}} \right|\)\( = OM + M{M_1} + M{M_2}\)

Xét \({Q_{\left( {{M_2},60^\circ } \right)}}\left( M \right) = M’\); \({Q_{\left( {{M_2},60^\circ } \right)}}\left( O \right) = O’\) theo tính chất của phép quay ta có \(M{M_2} = MM’\); \(OM = O’M’\) \( \Rightarrow P = OM + M{M_1} + M{M_2} \ge {M_1}M + MM’ + M’O’ \ge {M_1}O’\). Dấu “=” xảy ra khi các điểm \({M_1}\), \(M\), \(M’\), \(O’\) thẳng hàng \( \Rightarrow {P_{\min }} = {M_1}O’ = \sqrt {{6^2} + {6^2} – 2.6.6\cos 150^\circ }  = 6\sqrt {2 + \sqrt 3 } \). ======= Lý thuyết KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb\) và \(i^2=-1\)). Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\) Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ. Độ dài của vectơ OM  là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow = \sqrt + } .\) Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a – bi.\)

Một số tính chất cần lưu ý của số phức

Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb\subset \mathbb.\) Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0). Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo. Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb)\) gọi là dạng đại số của số phức. Ta có: ​\(\left| \right| = \left| z \right|\). \(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực. \(z = – \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.