Cho số phức \(z\) thoả mãn \(z\) không phải là số thực và \({\rm{w}} = \frac{z}{{2 + {z^2}}}\) là số thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {z + 1 – i} \right|\) là:

Câu hỏi: Cho số phức \(z\) thoả mãn \(z\) không phải là số thực và \({\rm{w}} = \frac{z}{{2 + {z^2}}}\) là số thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {z + 1 – i} \right|\) là: A. \({P_{\max }} = 2\).  B. \({P_{\max }} = 2\sqrt 2 \).  C. \({P_{\max }} = \sqrt 2 \).  D. \({P_{\max }} = 8\). LỜI GIẢI CHI TIẾT: Gọi \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R},b \ne 0} \right)\). Ta có: \(\frac{1}{{\rm{w}}} = z + \frac{2}{z} = a + bi + \frac{{2\left( {a – bi} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}}\). \({\rm{w}}\) là số thực nên \(\frac{1}{{\rm{w}}}\) là số thực \( \Rightarrow b – \frac{{2b}}{{{a^2} + {b^2}}} = 0\)\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 2 \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt 2 \). Tập hợp điểm biểu diễn của \(z\) là đường tròn tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 2 \). Gọi \(M;\,A\left( { – 1;1} \right)\) lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức \(z\) và \( – 1 + i\). Ta có: \(P = \left| {z + 1 – i} \right| = AM\). Do đó \({P_{\max }} = AO + R = 2\sqrt 2 \).

======= Lý thuyết KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb\) và \(i^2=-1\)). Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\) Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ. Độ dài của vectơ OM  là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow = \sqrt + } .\) Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a – bi.\)

Một số tính chất cần lưu ý của số phức

Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb\subset \mathbb.\) Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0). Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo. Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb)\) gọi là dạng đại số của số phức. Ta có: ​\(\left| \right| = \left| z \right|\). \(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực. \(z = – \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.