Câu hỏi:
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(|z – 3 – 4i| = \sqrt 5 \) và biểu thức \(P = |z + 2{|^2} – |z – i{|^2}\) đạt giá trị lớn nhất. Tính \(|z + i|\).
A. \(5\sqrt 3 \).
B. \(\sqrt {41} \).
C. \(\sqrt {61} \).
D. \(3\sqrt 5 \).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Giả sử \(z = x + yi,(x,y \in \mathbb{R})\).
+) Ta có: \(|z – 3 – 4i| = \sqrt 5 \Leftrightarrow {(x – 3)^2} + {(y – 4)^2} = 5\) (1).
+) \(P = |z + 2{|^2} – |z – i{|^2} = \left[ {{{(x + 2)}^2} + {y^2}} \right] – \left[ {{x^2} + {{(y – 1)}^2}} \right] = 4x + 2y + 3\)
\( = 4(x – 3) + 2(y – 4) + 23 \le \sqrt {\left( {{4^2} + {2^2}} \right)\left[ {{{(x – 3)}^2} + {{(y – 4)}^2}} \right]} + 23 = 33\)
Suy ra \(P = 33 \Leftrightarrow \frac{{x – 3}}{4} = \frac{{y – 4}}{2} \Leftrightarrow x – 3 = 2(y – 4)\)
Từ (1) và (2) suy ra\(\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 5\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\end{array} \right.\)
Với \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 5\end{array} \right.\) thì \(P = 33\); Với \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\end{array} \right.\) thì \(P = 13\)
Do đó \(z = 5 + 5i \Rightarrow \left| {z + i} \right| = \sqrt {61} \)
=======
Trả lời