Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z – 2 + i} \right| = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = 3\left| {z – 2} \right| + 4\left| {z – 2 + 2i} \right|\).
A. \(4\sqrt 3 \).
B. \(2\sqrt 7 \).
C. \(10\).
D. \(5\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(z = x + yi\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\). Trong hệ trục \(Oxy\), \(z\) được biểu diễn bởi điểm \(M\left( {x;\,y} \right)\).
Theo đề ta có \(\left| {z – 2 + i} \right| = 1 \Leftrightarrow {\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\,\left( 1 \right)\). Khi đó phương trình \(\left( 1 \right)\) là phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2; – 1} \right)\) và \(R = 1\). Vậy \(M \in \left( C \right)\).
Theo đề ta có \(T = 3\left| {z – 2} \right| + 4\left| {z – 2 + 2i} \right| = 3\sqrt {{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {y^2}} + 4\sqrt {{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} \).
Gọi \(A\left( {2;\,0} \right),\,B\left( {2; – 2} \right)\). Khi đó \(T = 3\sqrt {{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {y^2}} + 4\sqrt {{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} = 3\left| {\overrightarrow {MA} } \right| + 4\left| {\overrightarrow {MB} } \right| = 3MA + 4MB\).
Mặc khác \(A\left( {2;\,0} \right),\,B\left( {2; – 2} \right) \in \left( C \right)\) và \(AB = 2 = 2R\) vậy \(AB\) là đường kính. Suy ra tam giác \(MAB\) vuông tại M.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
\(T = 3MA + 4MB \le \sqrt {\left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right)} = \sqrt {25.A{B^2}} = 10\).
Vậy Giá trị lớn nhất của \(T\) là 10.
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời