Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 1 – i} \right| = \left| {z – 1 + 2i} \right|\). Biết modul của số phức \({\rm{w}} = \left( {3 + 4i} \right)z – 5 + 10i\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{a\sqrt b }}{c}\), với \(a,b,c\) là các số nguyên dương và \(b\)là số nguyên tố. Khi đó tổng \(a + 2b + 3c\) bằng
A. \(129\).
B. \(180\).
C. \(64\)
D. \(25\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đặt \(z = x + yi\), với \(x,y \in \mathbb{R}\).
Từ giả thiết ta có: \(\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} \) \( \Leftrightarrow \) \(4x – 6y = 3\)\(\left( * \right)\).
Mặt khác, \(\left| {\rm{w}} \right| = \left| {\left( {3 + 4i} \right)z – 5 + 10i} \right| = \left| {3 + 4i} \right|\left| {z – \frac{{5 – 10i}}{{3 + 4i}}} \right|\)\( = \)\(5\left| {z + 1 + 2i} \right|\) \( = \) \(5\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} \).
Từ \(\left( * \right)\) ta suy ra \(x = \frac{{3 + 6y}}{4}\) thế vào \(\left| {\rm{w}} \right|\) ta được: \(\left| {\rm{w}} \right| = 5\sqrt {\frac{{{{\left( {6y + 7} \right)}^2}}}{{16}} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} = \frac{5}{4}\sqrt {52{y^2} + 148y + 113} \)\( = \) \(\frac{5}{4}\sqrt {13{{\left( {2y + \frac{{37}}{{13}}} \right)}^2} + \frac{{100}}{{13}}} \) \( \ge \)\(\frac{{25\sqrt {13} }}{{26}}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(\left| {\rm{w}} \right|\) bằng \(\frac{{25\sqrt {13} }}{{26}}\) đạt được khi \(y = – \frac{{37}}{{26}}\) và \(x = – \frac{{18}}{{13}}\).
Khi đó \(a = 25,b = 13,c = 26\) nên \(a + 2b + 3c = 129\).
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời