Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z – 1 + 3i} \right| + \left| {z + 2 – i} \right| = 8\). Giá trị nhỏ nhất \(m\) của \(\left| {2z + 1 + 2i} \right|\) là
A. \(m = 4\).
B. \(m = \sqrt {39} \).
C. \(m = 9\).
D. \(m = 8\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Giả sử \(M\left( {x;y} \right)\) biểu diễn số phức \(z = x + iy\) (\(x\), \(y\)\( \in \mathbb{R}\)), \(A\left( {1; – 3} \right)\), \(B\left( { – 2;1} \right)\), \(AB = 5\).
\(\left| {z – 1 + 3i} \right| + \left| {z + 2 – i} \right| = 8\)\( \Leftrightarrow AM + BM = 8\), tập hợp điểm \(M\) là Elip có phương trình
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{4{y^2}}}{{39}} = 1\). Đặt \(P = \left| {2z + 1 + 2i} \right|\)\( \Leftrightarrow P = 2\left| {z + \frac{1}{2} + i} \right|\), gọi \(I\) là trung điểm \(AB\) thì \(I\left( { – \frac{1}{2}; – 1} \right)\)
\( \Rightarrow P = 2\left| {z + \frac{1}{2} + i} \right| = 2IM\).
Ta tìm điểm \(M\) trên \(\left( E \right)\) sao cho \(IM\) có độ dài nhỏ nhất.
\(IM\) nhỏ nhất khi \(IM\) bằng độ dài nửa trục bé, \(IM = \frac{{\sqrt {39} }}{2}\)\( \Rightarrow {P_{\min }} = \sqrt {39} \).
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời