Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {i\left( {1 + z} \right) + 3} \right| = \left| {z + 6i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {5 + i\left( {1 – \bar z} \right)} \right|\) bằng.
A. \(\frac{7}{{\sqrt {82} }}\).
B. \(\sqrt {82} \).
C. \(57\).
D. \(\frac{{57}}{{\sqrt {82} }}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi điểm \(M\left( {x;y} \right)\)là điểm biểu diễn của số phức z = x + yi.
Ta có: \(\left| {i\left( {1 + z} \right) + 3} \right| = \left| {z + 6i} \right| \Leftrightarrow \left| {(3 – y) + (x + 1)i} \right| = \left| {x + (y + 6)i} \right|\).
\( \Leftrightarrow {\left( {3 – y} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y + 6} \right)^2} \Leftrightarrow x – 9y – 13 = 0\).
Do đó điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(\left( d \right)\): \(x – 9y – 13 = 0\).
Ta lại có: \(\left| {5 + i\left( {1 – \bar z} \right)} \right| = \left| {\left( {5 – y} \right) – \left( {x – 1} \right)i} \right| = \sqrt {{{(5 – y)}^2} + {{\left( {x – 1} \right)}^2}} = MI\) với \(I\left( {1;\,5} \right)\).
Ta có: \(\left| {5 + i\left( {1 – \bar z} \right)} \right|\)nhỏ nhất ⇔ \(MI\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow MI = d(I;d) = \frac{{57}}{{\sqrt {82} }}\).
Dấu bẳng xảy ra khi \(MI \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {IM} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \Leftrightarrow 9\left( {x – 1} \right) + 1.\left( {y – 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 9x + y = 14\)
\(\left( {\overrightarrow {IM} \left( {x – 1;y – 5} \right),\,\overrightarrow {{u_d}} \left( {9;1} \right)} \right)\).
Từvàsuy ra tọa độ \(M\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}9x + y = 14\\x – 9y = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{139}}{{82}}\\y = – \frac{{103}}{{82}}\end{array} \right.\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(\left| {5 + i\left( {1 – \bar z} \right)} \right|\) bằng \(\frac{{57}}{{\sqrt {82} }}\).
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời