Cho số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {\,z + i\,} \right| = \left| {\,\overline z – 2 + i\,} \right|\) và \(z.\overline z \le 5\). Giá trị lớn nhất của \(\left| {z – 5} \right|\) là
A. \(2\sqrt {10} \).
B. \(\sqrt {10} \).
C. \(2\sqrt 2 \).
D. \(4\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Giả sử \(z = x + yi\) \(\left( {x,\,y \in \,\,\mathbb{R}} \right)\) được biểu diễn bởi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) trong mặt phẳng \(Oxy\).
Khi đó \(\left| {\,z + i\,} \right| = \left| {\,\overline z – 2 + i\,} \right| \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} \Leftrightarrow x + y – 1 = 0\)
Lại có \(z.\overline z \le 5 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \le 5\)
Từvàta có tập hợp điểm \(M\) là giao của đường thẳng \(x + y – 1 = 0\) và hình tròn \({x^2} + {y^2} \le 5\) là đoạn thẳng \(AB\) với \(A\left( {2; – 1} \right)\) và \(B\left( { – 1;2} \right)\).
Gọi \(D\left( {5;0} \right)\) khi đó \(\left| {\,z – 5} \right| = MD\). Do đó \(max\,\,\left| {\,z – 5} \right| = \mathop {max}\limits_{M \in AB} MD\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(D\) trên \(AB\), do \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = – 6 < 0\) nên \(\Delta ABD\) tù. Do đó \(H\) nằm ngoài đoạn \(AB\). Khi đó \(\mathop {max}\limits_{M \in AB} \,\,MD = DB = 2\sqrt {10} \).
Vậy \(max\,\,\left| {z – 5} \right| = 2\sqrt {10} \).
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời