Cho số phức \(z = \left( {3q – 2m} \right) + \left( {5m – 2q} \right)i\) với \(m,q\) là các số thực thỏa mãn \(0 \le m \le q \le 1\), và số phức \(w\) thỏa mãn \(\left| {w – 2 + 3i} \right| = \left| {{\rm{w}} – 4 – i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {z – w} \right|\) bằng
A. \(\frac{1}{{\sqrt 5 \;}}\)
B. \(\frac{6}{{\sqrt 5 \;}}\)
C. \(\;\frac{2}{{\sqrt 5 \;}}\).
D. \(0\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta thấy \(z = m\left( {1 + 3i} \right) + \left( {q – m} \right)\left( {3 – 2i} \right)\). Nếu gọi \(A,B,\;M\) là các điểm biểu diễn của số phức \(1 + 3i\), \(3 – 2i\), \(z\) thì \(\overrightarrow {OM} = m\overrightarrow {OA} + \left( {q – m} \right)\overrightarrow {OB} \) với với \(m,q\) là các số thực thỏa mãn \(0 \le m \le q \le 1\).
Với \(q = 0\) thì \(M \equiv O\); Với \(1 \ge q > 0\) thì \(\frac{{\overrightarrow {OM} }}{q} = \overrightarrow {OM’} = \frac{m}{q}\overrightarrow {OA} + \left( {1 – \frac{m}{q}} \right)\overrightarrow {OB} \), suy ra \(M’\) nằm trên đoạn \(AB\) và \(M\) nằm trên đoạn \(OM’\). Các khẳng định cho thấy \(M\) nằm trên hình tam giác \(OAB\) hay tập điểm biểu diễn số phức \(z\) là hình tam giác \(OAB\).
Gọi \(Q\) là điểm biểu diễn của số phức \(w\), từ giả thiết suy ra \(Q\) nằm trên đường thẳng \(\left( d \right)\;:x + 2y – 1 = 0\) hay tập điểm biểu diễn \(w\) là đường thẳng \(d\).
Mỗi giá trị \(\left| {z – w} \right|\) sẽ tương ứng 1-1 với khoảng cách của 1 điểm \(M\) nằm trên hình tam giác \(OAB\) và điểm \(Q\) nằm trên đường thẳng \(\left( d \right)\). Giá trị \(\left| {z – w} \right|\) nhỏ nhất tương ứng với \(MQ\) nhỏ nhất.
Quan sát hình thấy\(MQ\) nhỏ nhất khi \(MQ = 0\) hay \(M\),\(Q\) là các điểm chung của \(d\) và hình tam giác \(OAB\)
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời