Câu hỏi:
Cho số phức \(w\) và hai số thực \(a,b\). Biết rằng \(w + i\) và \(2w – 1\) là hai nghiệm của phương trình \({z^2} + az + b = 0\). Tổng \(S = a + b\) bằng
A. \(\frac{5}{9}\)
B. \( – \frac{5}{9}\)
C. \(\frac{1}{3}\)
D. \( – \frac{1}{3}\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đặt \(w = x + yi\quad (x,y \in \mathbb{R})\). Vì \(a,b \in \mathbb{R}\) và phương trình \({z^2} + az + b = 0\) có hai nghiệm là \({z_1} = w + i,{z_2} = 2w – 1\) nên \({z_1} = \overline {{z_2}} \Leftrightarrow w + i = \overline {2w – 1} \Leftrightarrow x + yi + i = \overline {2(x + yi) – 1} \)
\( \Leftrightarrow x + (y + 1)i = (2x – 1) – 2yi \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2x – 1}\\{y + 1 = – 2y}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = – \frac{1}{3}}\end{array}} \right.} \right.\)
\({\rm{w}} = 1 – \frac{1}{3}i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = {\rm{w}} + i = 1 + \frac{2}{3}i\\{z_2} = 2{\rm{w}} – 1 = 1 – \frac{2}{3}i\end{array} \right.\)
Theo định lí vi et: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = – a\\{z_1} \cdot {z_2} = b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 2\\b = \frac{{13}}{9}\end{array} \right.\).
Vậy \(S = a + b = \frac{{ – 5}}{9}\)
=======
Trả lời