. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị biểu diễn như hình vẽ và đồ thị đạo hàm không tiếp xúc với trục hoành. Số nghiệm của phương trình \(f(x){.2^{f'(x)}} + 2f'(x){.3^{f(x)}} = f(x) + 2f'(x)\) tương ứng là

. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị biểu diễn như hình vẽ và đồ thị đạo hàm không tiếp xúc với trục hoành. Số nghiệm của phương trình \(f(x){.2^{f'(x)}} + 2f'(x){.3^{f(x)}} = f(x) + 2f'(x)\) tương ứng là

A. \(6\).

B. \(7\).

C. \(8\).

D. \(5\).

Lời giải

Từ đồ thị hàm số suy ra \(f(x) = 0\) có các nghiệm \({x_1} < {x_2} < {x_3} < {x_4}\) và \(f'(x) = 0\) có các nghiệm là \({a_1} < {a_2} < {a_3} < {a_4}\) và phương trình \(f'(x) = 0\) cũng chỉ có 4 nghiệm này . Từ đồ thị ta có \({a_4} \equiv {x_4}\).

\(f(x){.2^{f'(x)}} + 2f'(x){.3^{f(x)}} = f(x) + 2f'(x)\) \( \Leftrightarrow f(x)\left( {{2^{f'(x)}} – 1} \right) + 2f'(x)\left( {{3^{f(x)}} – 1} \right) = 0\) .

Dễ nhận thấy \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4},{a_1},{a_2},{a_3}\) là các nghiệm của phương trình .

Ta chứng minh rằng phương trình chỉ có 7 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4},{a_1},{a_2},{a_3}\).

Thật vậy:

– Nếu \(x < {x_1}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}f(x) < 0\\f'(x) > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{f(x)}} < 1\\{2^{f'(x)}} > 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{f(x)}} – 1 < 0\\{2^{f'(x)}} – 1 > 0\end{array} \right. \Rightarrow VT(1) < 0\)

– Nếu \({x_1} < x < {a_1}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0\\f'(x) > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{f(x)}} > 1\\{2^{f'(x)}} > 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{f(x)}} – 1 > 0\\{2^{f'(x)}} – 1 > 0\end{array} \right. \Rightarrow VT(1) > 0\).

Thực hiện tương tự đối với các khoảng còn lại ta thấy VT luôn âm hoặc luôn dương trên các khoảng đó.

Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm.