Cho hai số phức \(z\,,\,w\)thỏa mãn \(\left| {z – 3\sqrt 2 } \right| = \sqrt 2 \), \(\left| {w – 4\sqrt 2 i} \right| = 2\sqrt 2 \). Biết rằng \(\left| {z – w} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(z = {z_0}\), \(w = {w_0}\). Tính \(\left| {3{z_0} – {w_0}} \right|\).

Câu hỏi: Cho hai số phức \(z\,,\,w\)thỏa mãn \(\left| {z – 3\sqrt 2 } \right| = \sqrt 2 \), \(\left| {w – 4\sqrt 2 i} \right| = 2\sqrt 2 \). Biết rằng \(\left| {z – w} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(z = {z_0}\), \(w = {w_0}\). Tính \(\left| {3{z_0} – {w_0}} \right|\). A. \(6\sqrt 2 \).  B. \(4\sqrt 2 \).  C. 1.  D. \(2\sqrt 2 \). LỜI GIẢI CHI TIẾT Ta có: + \(\left| {z – 3\sqrt 2 } \right| = \sqrt 2 \), suy ra tập hợp điểm biểu diễn \(M\) biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn có tâm \(I\left( {3\sqrt 2 \,;\,0} \right)\), bán kính \(r = \sqrt 2 \). + \(\left| {w – 4\sqrt 2 i} \right| = 2\sqrt 2 \), suy ra tập hợp điểm biểu diễn \(N\) biểu diễn số phức \(w\) là đường tròn có tâm \(J\left( {0\,;\,4\sqrt 2 \,} \right)\), bán kính \(R = 2\sqrt 2 \). Ta có \(\min \left| {z – w} \right| = \min MN\). + \(IJ = 5\sqrt 2 ;\,IM = r = \sqrt 2 ;\,NJ = R = 2\sqrt 2 \).

Mặt khác \(IM + MN + NJ \ge IJ\) \( \Rightarrow MN \ge IJ – IM – NJ\) hay \(MN \ge 5\sqrt 2  – \sqrt 2  – 2\sqrt 2  = 2\sqrt 2 \). Suy ra \(\min MN = 2\sqrt 2 \) khi \(I,\,M,\,N,\,J\)thẳng hàng và \(M,\,N\) nằm giữa \(I,\,J\) (Hình vẽ). Khi đó ta có: \(\left| {3{z_0} – {w_0}} \right| = \left| {3\overrightarrow {OM}  – \overrightarrow {ON} } \right|\) và \(IN = 3\sqrt 2 \) \( \Rightarrow \overrightarrow {IM}  = \frac{1}{5}\overrightarrow {IJ} ;\,\,\overrightarrow {IN}  = \frac{3}{5}\overrightarrow {IJ} \). Mặt khác \(\overrightarrow {ON}  = \overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {IN} \) \( = \,\,\overrightarrow {OI}  + \frac{3}{5}\overrightarrow {IJ} \); \(3\overrightarrow {OM}  = \,\,3\left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {IM} } \right) = \) \(3\left( {\overrightarrow {OI}  + \frac{1}{5}\overrightarrow {IJ} } \right) = \,\,\,3\overrightarrow {OI}  + \frac{3}{5}\overrightarrow {IJ} \). Suy ra \(\left| {3{z_0} – {w_0}} \right| = \left| {3\overrightarrow {OM}  – \overrightarrow {ON} } \right|\) \( = \left| {3\overrightarrow {OI}  + \frac{3}{5}\overrightarrow {IJ}  – \left( {\overrightarrow {OI}  + \frac{3}{5}\overrightarrow {IJ} } \right)} \right| = \left| {2\overrightarrow {OI} } \right|\) \( = 6\sqrt 2 \). ======= Lý thuyết KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb\) và \(i^2=-1\)). Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\) Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ. Độ dài của vectơ OM  là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow = \sqrt + } .\) Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a – bi.\)

Một số tính chất cần lưu ý của số phức

Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb\subset \mathbb.\) Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0). Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo. Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb)\) gọi là dạng đại số của số phức. Ta có: ​\(\left| \right| = \left| z \right|\). \(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực. \(z = – \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.