Câu hỏi:
Cho hai số phức \({z_1},\,{z_2}\)thỏa mãn \(\left| {{z_1} – {z_2} – 9 – 12i} \right| = 3\)và \(\left| {{z_1} – 3 – 20i} \right| = 7 – \left| {{z_2}} \right|\). Gọi \(M\,,\,m\)lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {{z_1} + 2{z_2} + 12 – 15i} \right|\). Khi đó giá trị \({M^2} – {m^2}\)bằng
A. 225.
B. 223.
C. 224.
D. 220.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đặt \({\rm{w}} = {z_1} – 9 – 12i\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{\rm{w}} – {z_2}} \right| = 3\\\left| {{\rm{w}} + 6 – 8i} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 7.\end{array} \right.\)
Gọi \(A\,,\,B\)lần lượt là hai điểm biểu diễn của hai số phức \({\rm{w}}\)và \({z_2}\). Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB\, = \,3\\AM + OB\, = \,7\end{array} \right.\)với điểm \(M\left( { – 6\,;\,8} \right)\).
\( \Rightarrow AB\, + \,AM\, + OB = \,10 = OM\). Suy ra \(A\,,\,B\)thuộc đoạn \(OM\).
Suy ra \(\overrightarrow {OA} = x\overrightarrow {OM} = \left( { – 6x;8x} \right)\)và \(\overrightarrow {OB} = y\overrightarrow {OM} = \left( { – 6y;8y} \right)\)với \(x\,,\,y\, \in \,\left[ {0\,;\,1} \right]\).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{w}} = – 6x + 8xi\\{z_2} = – 6y + 8yi\end{array} \right.\)với \(x\,,\,y\, \in \,\left[ {0\,;\,1} \right]\).
Khi đó \(P = \left| { – 6x + 8xi – 12y + 16yi + 21 – 3i} \right|\).
Hay \(P = \sqrt {{{\left( { – 6x – 12y + 21} \right)}^2} + {{\left( {8x + 16y – 3} \right)}^2}} \). Đặt \(t = x + 2y,\,\,t \in \,\left[ {0\,;\,3} \right]\).
Khi đó \(P = \sqrt {100{t^2} – 300t + 450} \).
Khảo sát hàm số \(f\left( t \right) = 100{t^2} – 300t + 450\)trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\)ta được
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right) = f\left( 0 \right) = 450\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right) = f\left( {\frac{3}{2}} \right) = 225\).
Từ đó suy ra \(M = \sqrt {450} \,,\,m = 15\). Vậy \({M^2} – {m^2} = 225\).
=======
Lý thuyết
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb\) và \(i^2=-1\)).
Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\)
Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ.
Độ dài của vectơ OM là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow = \sqrt + } .\)
Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a – bi.\)
Một số tính chất cần lưu ý của số phức
Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb\subset \mathbb.\)
Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0).
Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo.
Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb)\) gọi là dạng đại số của số phức.
Ta có:
\(\left| \right| = \left| z \right|\).
\(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực.
\(z = – \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.
Trả lời