Câu hỏi:
Cho hai số phức \({z_1}\,,\,{z_2}\)thỏa mãn \(\left| {{z_1} – 2 – i} \right| = 2\sqrt 2 \)và \(\left| {{z_2} – 5 + i} \right| = \left| {\overline {{z_2}} – 7 + i} \right|\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} – i{z_2}} \right|\).
A. \(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
B. \(2\sqrt 2 \).
C. \(\frac{{7\sqrt 2 }}{2}\).
D. \(\frac{{11\sqrt 2 }}{2}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Giả sử số phức \({z_1} = a + bi\)\((a,b \in \mathbb{R};\,{i^2} = – 1)\).
\(\left| {{z_1} – 2 – i} \right| = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {a – 2} \right)^2} + {\left( {b – 1} \right)^2} = 8\).
Gọi điểm \({M_1}\)biểu diễn số phức \({z_1}\). Suy ra \({M_1}\)thuộc đường tròn tâm \(I\left( {2;\,1} \right)\), bán kính \(R = 2\sqrt 2 \).
Giả sử số phức \({z_2} = x + yi\)\((x,y \in \mathbb{R};\,{i^2} = – 1)\).
\(\left| {{z_2} – 5 + i} \right| = \left| {\overline {{z_2}} – 7 + i} \right| \Leftrightarrow {\left( {x – 5} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {\left( {x – 7} \right)^2} + {\left( {1 – y} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow – 10x + 25 + 2y + 1 = – 14x + 49 – 2y + 1 \Leftrightarrow 4x + 4y – 24 = 0 \Leftrightarrow x + y – 6 = 0\).
Điểm \({M_2}\left( {x\,;\,y} \right)\)biểu diễn số phức \({z_2}\). Suy ra \({M_2}\)thuộc đường thẳng \({\Delta _1}:\,x + y – 6 = 0\).
Điểm \({M_3}\left( { – y\,;\,\,x} \right)\)biểu diễn số phức \(i{z_2}\). Ta thấy \({M_3}\)là ảnh của điểm \({M_2}\)qua phép quay tâm \(O\), góc quay \({90^0}\). Suy ra \({M_3}\)thuộc đường thẳng \({\Delta _2}:\,x – y + 6 = 0\).
Khi đó: \(\left| {{z_1} – i{z_2}} \right| = {M_1}{M_3}\). Do đó \(\left| {{z_1} – i{z_2}} \right|\)nhỏ nhất \( \Leftrightarrow {M_1}{M_3}\)nhỏ nhất. Suy ra: \(\min \left\{ {\left| {{z_1} – i{z_2}} \right|} \right\} = d\left( {I;\,{\Delta _2}} \right) – R = \frac{{\left| {2 – 1 + 6} \right|}}{{\sqrt 2 }} – 2\sqrt 2 = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
=======
Lý thuyết
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb\) và \(i^2=-1\)).
Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\)
Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ.
Độ dài của vectơ OM là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow = \sqrt + } .\)
Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a – bi.\)
Một số tính chất cần lưu ý của số phức
Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb\subset \mathbb.\)
Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0).
Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo.
Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb)\) gọi là dạng đại số của số phức.
Ta có:
\(\left| \right| = \left| z \right|\).
\(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực.
\(z = – \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.
Trả lời