Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\)thỏa mãn \(\left| {{z_1} – 1 – 3i} \right| = 1\)và \(\left| {{z_2} + 1 – i} \right| = \left| {{z_2} – 5 + i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {{z_2} – 1 – i} \right| + \left| {{z_2} – {z_1}} \right|\)bằng

Câu hỏi: Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\)thỏa mãn \(\left| {{z_1} – 1 – 3i} \right| = 1\)và \(\left| {{z_2} + 1 – i} \right| = \left| {{z_2} – 5 + i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {{z_2} – 1 – i} \right| + \left| {{z_2} – {z_1}} \right|\)bằng A. \(\sqrt {10}  – 1\).  B. \(3\).  C. \(\frac{{2\sqrt {85} }}{5} – 1\).  D. \(\sqrt {10}  + 1\). LỜI GIẢI CHI TIẾT Gọi \(M\left( {{z_1}} \right)\), \(N\left( {{z_2}} \right)\)lần lượt là điểm biểu diễn số phức \({z_1}\)và \({z_2}\). Từ điều kiện \(\left| {{z_1} – 1 – 3i} \right| = 1\)\( \Rightarrow \)Tập hợp điểm \(M\)là đường tròn tâm \(I\left( {1;3} \right)\), bán kính \(R = 1\). Từ điều kiện \(\left| {{z_2} + 1 – i} \right| = \left| {{z_2} – 5 + i} \right| \Rightarrow NA = NB\), với \(A\left( { – 1;1} \right),B\left( {5; – 1} \right)\)\( \Rightarrow \)Tập hợp điểm \(N\)là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\)có phương trình \(\left( d \right):3x – y – 6 = 0\). Ta có \(P = \left| {{z_2} – 1 – i} \right| + \left| {{z_2} – {z_1}} \right| = NE + MN\), với \(E = \left( {1;1} \right)\).

Dễ thấy điểm \(E\)và đường tròn \(\left( {I;R} \right)\)nằm hoàn toàn cùng phía so với đường thẳng \(d\). Gọi \(F\)là điểm đối xứng của\(E\) qua \(d\)\( \Rightarrow F\left( {\frac{{17}}{5};\frac{1}{5}} \right)\). Ta có \(P = NE + MN \ge NF + NI – R \ge FI – R = \frac{{2\sqrt {85} }}{5} – 1\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4 điểm \(F,N,M,I\)thẳng hàng. Vậy \(\min P = \frac{{2\sqrt {85} }}{5} – 1\). ======= Lý thuyết KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb\) và \(i^2=-1\)). Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\) Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ. Độ dài của vectơ OM  là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow = \sqrt + } .\) Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a – bi.\)

Một số tính chất cần lưu ý của số phức

Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb\subset \mathbb.\) Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0). Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo. Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb)\) gọi là dạng đại số của số phức. Ta có: ​\(\left| \right| = \left| z \right|\). \(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực. \(z = – \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.