Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \({z_1} – {z_2} = 2 + 4i\) và \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt {52} \). Giá trị lớn nhất của \(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\) là
A. \(\sqrt 6 \).
B. \(\sqrt {52} \).
C. \(6\sqrt 2 \).
D. \(2\sqrt 6 \).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Giả sử \({z_1} = a + bi\),\({z_2} = c + di\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = a + c + \left( {b + d} \right)i\\{z_1} – {z_2} = a – c + \left( {b – d} \right)i\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} \\\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {a – c} \right)}^2} + {{\left( {b – d} \right)}^2}} \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + c} \right)^2} + {\left( {b + d} \right)^2} = 52\\{\left( {a – c} \right)^2} + {\left( {b – d} \right)^2} = 20\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow {\left( {a + c} \right)^2} + {\left( {b + d} \right)^2} + {\left( {a – c} \right)^2} + {\left( {b – d} \right)^2} = 72\)\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = 36\).
Mặt khác \(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{c^2} + {d^2}} \mathop \le \limits^{B.C.S} \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}} \right)} = 6\sqrt 2 .\)
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}a – c = 2\\b – d = 4\\{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = 36\\{a^2} + {b^2} = {c^2} + {d^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = c + 2\\b = d + 4\\{a^2} + {b^2} = 18\\{c^2} + {d^2} = 18\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow a = \frac{{5 – 2\sqrt {65} }}{5};b = \frac{{10 + \sqrt {65} }}{5};c = \frac{{ – 5 – 2\sqrt {65} }}{5};d = \frac{{ – 10 + \sqrt {65} }}{5}\).
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời