Cho hai số phức \({z_1};{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = m\,\,\left( {m > 0} \right)\)và \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {\left( {1 + i} \right){z_1}} \right|\). Tìm\(m\) để số phức \(z = {z_1} – {z_2} – 2 – i\sqrt 5 \) có môđun lớn nhất bằng 2024.
A. \(2021\).
B. \(\frac{{2021\sqrt 2 }}{2}\).
C. \(\frac{{2015\sqrt 2 }}{2}\).
D. \(\frac{{2021}}{2}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Phương pháp đại số:
Giả sử \({z_1} = a + bi;{z_2} = c + di\,\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)\).
Giả thiết: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = m\\\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {\left( {1 + i} \right){z_1}} \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {c^2} + {d^2} = {m^2}\\{\left( {a + c} \right)^2} + {\left( {b + d} \right)^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 2{m^2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {c^2} + {d^2} = {m^2}\\ac + bd = 0\end{array} \right.\).
Do vậy: \({\left| {{z_1} – {z_2}} \right|^2} = {\left( {a – c} \right)^2} + {\left( {b – d} \right)^2} = 2{m^2} \Rightarrow \left| {{z_1} – {z_2}} \right| = m\sqrt 2 \).
Ta có: \(\left| z \right| = \left| {{z_1} – {z_2} – 2 – i\sqrt 5 } \right| \le \left| {{z_1} – {z_2}} \right| + \left| { – 2 – i\sqrt 5 } \right| = m\sqrt 2 + 3\).
Do vậy số phức \(z\) có môđun lớn nhất bằng 2024 \( \Leftrightarrow m\sqrt 2 + 3 = 2024 \Leftrightarrow m = \frac{{2021\sqrt 2 }}{2}\).
Phương pháp hình học:
Gọi \(A,B,C,D\) lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức \({z_2};{z_1};{z_1} + {z_2};\left( {2 + i\sqrt 5 } \right)\), trong đó \(C\) là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(AOBC\).
Từ giả thiết \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = m\\\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {\left( {1 + i} \right){z_1}} \right| = m\sqrt 2 \end{array} \right.\) suy ra tứ giác \(AOBC\) là hình vuông cạnh \(m\).
Suy ra \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = AB = m\sqrt 2 \).
Dựng \(\overrightarrow {OE} = \overrightarrow {AB} \), khi đó \(\left| z \right| = \left| {\left( {{z_1} – {z_2}} \right) – \left( {2 + i\sqrt 5 } \right)} \right| = DE \le OD + OE\).
\(\left| z \right|\) đạt giá trị lớn nhất khi \(DE = OD + OE\) (\(D;O;E\) thẳng hàng).
Do vậy, \({\left| z \right|_{\max }} = 2024\) \( \Leftrightarrow DO + OE = 2024 \Leftrightarrow 3 + m\sqrt 2 = 2024 \Leftrightarrow m = \frac{{2021\sqrt 2 }}{2}\).
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời