Cho hai số phức \({z_1},\,{z_2}\) thỏa \(\left| {i{z_1} – 1} \right| = 1\) và \(\left| {{{\bar z}_2} + i} \right| = 2\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = \left| {2{z_1} + 3{z_2}} \right|\) là
A. \(4\).
B. \(1\).
C. \(3\).
D. \(2\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có: \(\left| {i{z_1} – 1} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| i \right|\left| {{z_1} – \frac{1}{i}} \right| = 1\)\( \Leftrightarrow \left| {{z_1} + i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {2{z_1} + 2i} \right| = 2\).
Gọi \(M\) là điểm biểu diễn số phức \(2{z_1}\).
\( \Rightarrow \) Tập hợp \(M\) thuộc đường tròn tâm \(I(0; – 2)\), \(R = 2\).
Ta có: \(\left| {{{\bar z}_2} + i} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {{z_2} – i} \right| = 2\)\( \Leftrightarrow \left| { – 3{z_2} + 3i} \right| = 6\).
Gọi \(N\) là điểm biểu diễn số phức \( – 3{z_2}\).
\( \Rightarrow \) Tập hợp \(N\) thuộc đường tròn tâm \(I'(0; – 3)\), \(R’ = 6\).
Suy ra: \(P = \left| {2{z_1} + 3{z_2}} \right| = MN\)
\( \Rightarrow {P_{\min }} \Leftrightarrow M{N_{\min }}\)\( \Leftrightarrow M,\,N,\,I,\,I’\) thẳng hàng\( \Leftrightarrow MN = 3\).
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời