Cho hai số phức \({z_1}\); \({z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} – 1 – 2i} \right| = 1\); \(\left| {{z_2} – 2 – 8i} \right| = 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {{z_1} – 5 – 2i} \right| + 2\left| {{z_2} – 6 – 8i} \right| + 4\left| {{z_1} – {z_2}} \right|\).
A. \(30\).
B. \(25\).
C. \(35\).
D. \(20\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi điểm \(M\left( {{x_1}\,;\,{y_1}} \right)\); \(N\left( {{x_2}\,;\,{y_2}} \right)\) lần lượt biểu diễn các số phức \({z_1}\); \({z_2}\).
Gọi \(A\left( {5\,;\,2} \right)\); \(B\left( {6\,;\,8} \right)\)
Từ gt\( \Rightarrow \)\(M\) thuộc đường tròn tâm \({I_1}\left( {1\,;\,2} \right)\), bán kính \({R_1} = 1\); \(N\) thuộc đường tròn tâm \({I_2}\left( {2\,;\,8} \right)\), bán kính \({R_2} = 2\)
Mà \({I_1}A = 4 = 4{R_1}\); \({I_2}B = 4 = 2{R_2}\)
Lấy các điểm \(G\); \(K\) sao cho \(\overrightarrow {{I_1}G} = \frac{1}{{16}}\overrightarrow {{I_1}A} \); \(\overrightarrow {{I_2}K} = \frac{1}{4}\overrightarrow {{I_2}B} \)\( \Rightarrow \)\(G\left( {\frac{5}{4}\,;\,2} \right)\); \(K\left( {3\,;\,8} \right)\)
Dễ thấy \(\Delta {I_1}MG \sim \Delta {I_1}AM\)\( \Rightarrow \)\(\frac{{AM}}{{MG}} = \frac{{{I_1}A}}{{{I_1}M}} = 4\)\( \Rightarrow \)\(AM = 4GM\)
\(\Delta {I_2}NK \sim \Delta {I_2}BN\)\( \Rightarrow \)\(\frac{{BN}}{{KN}} = \frac{{{I_2}B}}{{{I_2}N}} = 2\)\( \Rightarrow \)\(NB = 2NK\)
Do đó \(P = AM + 2BN + 4MN = 4GM + 4MN + 4NK = 4\left( {GM + MN + NK} \right) \ge 4GK = 25\).
Vậy \(\min P = 25\).
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời