Câu hỏi:
Cho hai số phức \(u\), \(v\)thỏa mãn \(3\left| {u – 6i} \right| + 3\left| {u – 1 – 3i} \right| = 5\sqrt {10} \), \(\left| {v – 1 + 2i} \right| = \left| {\overline v + i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {u – v} \right|\)là:
A. \(\sqrt {10} \).
B. \(\frac{{5\sqrt {10} }}{3}\).
C. \(\frac{{\sqrt {10} }}{3}\).
D. \(\frac{{2\sqrt {10} }}{3}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
▪ Ta có: \(3\left| {u – 6i} \right| + 3\left| {u – 1 – 3i} \right| = 5\sqrt {10} \)\( \Leftrightarrow \left| {u – 6i} \right| + \left| {u – 1 – 3i} \right| = \frac{{5\sqrt {10} }}{3}\)\( \Rightarrow M{F_1} + M{F_2} = \frac{{5\sqrt {10} }}{3}\).
\( \Rightarrow u\)có điểm biểu diễn M thuộc elip với hai tiêu điểm \({F_1}\left( {0;6} \right),\;{F_2}\left( {1;3} \right)\), tâm \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{9}{2}} \right)\)và độ dài trục lớn là \(2a = \frac{{5\sqrt {10} }}{3}\)\( \Rightarrow a = \frac{{5\sqrt {10} }}{6}\).
\(\overrightarrow {{F_1}{F_2}} = \left( {1; – 3} \right) \Rightarrow {F_1}{F_2}:3x + y – 6 = 0\).
▪ Ta có: \(\left| {v – 1 + 2i} \right| = \left| {\overline v + i} \right| = \left| {v – i} \right|\)\( \Rightarrow NA = NB\)
\( \Rightarrow v\)có điểm biểu diễn N thuộc đường thẳng d là trung trực của đoạn AB với \(A\left( {1; – 2} \right),\;B\left( {0;1} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( { – 1;3} \right)\), \(K\left( {\frac{1}{2}; – \frac{1}{2}} \right)\)là trung điểm của A\( \Rightarrow d:x – 3y – 2 = 0\)
\(d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {\frac{1}{2} – \frac{{27}}{2} – 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{2}\)
Dễ thấy \({F_1}{F_2} \bot d\)\( \Rightarrow \min \left| {u – v} \right| = \min MN = \left| {d\left( {I,d} \right) – a} \right| = \frac{{2\sqrt {10} }}{3}\).
=======
Lý thuyết
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb\) và \(i^2=-1\)).
Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\)
Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ.
Độ dài của vectơ OM là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow = \sqrt + } .\)
Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a – bi.\)
Một số tính chất cần lưu ý của số phức
Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb\subset \mathbb.\)
Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0).
Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo.
Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb)\) gọi là dạng đại số của số phức.
Ta có:
\(\left| \right| = \left| z \right|\).
\(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực.
\(z = – \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.
Trả lời