Cho hai số phức \(u\) và \(v\) thoả mãn hệ thức \(5 – \left| {u + 4i – 1} \right| = \left| {u – 4} \right|\) và \(\left| {\left( {1 + i} \right)v + 1 – i} \right| = \sqrt 2 \). Gọi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {u – 2iv} \right|\) lần lượt là \(a\) và \(b\). Giá trị của biểu thức \(T = \left( {a + 5b} \right)\) bằng

Câu hỏi: Cho hai số phức \(u\) và \(v\) thoả mãn hệ thức \(5 – \left| {u + 4i – 1} \right| = \left| {u – 4} \right|\) và \(\left| {\left( {1 + i} \right)v + 1 – i} \right| = \sqrt 2 \). Gọi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {u – 2iv} \right|\) lần lượt là \(a\) và \(b\). Giá trị của biểu thức \(T = \left( {a + 5b} \right)\) bằng A. \(17.\)  B. \(22.\)  C. \(12.\)  D. \(14.\) LỜI GIẢI CHI TIẾT Gọi \(M\) là điểm biểu diễn số phức \(u\), \(A\left( {4;0} \right)\), \(B\left( {1; – 4} \right)\) Ta có \(5 – \left| {u + 4i – 1} \right| = \left| {u – 4} \right| \Leftrightarrow \left| {u – 4} \right| + \left| {u + 4i – 1} \right| = 5 \Leftrightarrow MA + MB = 5 \Leftrightarrow MA + MB = AB\) hay quỹ tích điểm \(M\) là đoạn thẳng \(AB\). Gọi \(N\) là điểm biểu diễn số phức \(2iv\), \(I\left( { – 2;0} \right)\) \(\left| {\left( {1 + i} \right)v + 1 – i} \right| = \sqrt 2  \Leftrightarrow \left| {1 + i} \right|.\left| {v + \frac{{1 – i}}{{1 + i}}} \right| = \sqrt 2  \Leftrightarrow \left| {v – i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {2iv + 2} \right| = \left| {2i} \right| \Leftrightarrow IN = 2\) hay quỹ tích điểm \(N\) là đường tròn tâm \(I\) bán kính bằng \(2\). Dễ thấy \(P = \left| {u – 2iv} \right| = MN\) Ta có hình vẽ

Dễ thấy \({P_{max}} = M{N_{max}} = BD = 8 = a\) \({P_{\min }} = M{N_{\min }} = HK = IH – 2 = IB\sin \alpha  – 2 = 6.\frac{4}{5} – 2 = \frac{{14}}{5} = b\) Do đó \(T = a + 5b = 22\). ======= Lý thuyết KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb\) và \(i^2=-1\)). Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\) Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ. Độ dài của vectơ OM  là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow = \sqrt + } .\) Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a – bi.\)

Một số tính chất cần lưu ý của số phức

Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb\subset \mathbb.\) Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0). Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo. Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb)\) gọi là dạng đại số của số phức. Ta có: ​\(\left| \right| = \left| z \right|\). \(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực. \(z = – \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.