Cho các số phức\(z,{z_1},{z_2}\)thỏa mãn\(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1\) và \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = \sqrt 2 \). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(P = \left| z \right| + \left| {z – {z_1}} \right| + \left| {z – {z_2}} \right|\).
A. \({P_{\min }} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}\).
B. \({P_{\min }} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{6}\).
C. \({P_{\min }} = \frac{{\sqrt 6 – \sqrt 2 }}{2}\).
D. \({P_{\min }} = \frac{{\sqrt 6 – \sqrt 2 }}{6}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi\(M,{M_1},{M_2}\) lần lượt biểu diễn cho số phức \(z,{z_1},{z_2}\)
Ta có: \(\left| {{z_1}} \right| = 1 \Rightarrow O{M_1} = 1\)
\(\left| {{z_2}} \right| = 1 \Rightarrow O{M_2} = 1\)
\(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = \sqrt 2 \Rightarrow {M_1}{M_2} = \sqrt 2 \)
\(P = OM + M{M_1} + M{M_2}\) nhỏ nhất khi M là điểm Fermat.
Khi đó và . Gọi \(M{M_1} = M{M_2} = x;MO = y\)
Ta có:
\(2 = {x^2} + {x^2} – 2{x^2}\cos {120^0} \Rightarrow x = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)
\(1 = {x^2} + {y^2} – 2x.y.\cos {120^0} \Rightarrow y = \frac{{3\sqrt 2 – \sqrt 6 }}{6}\)
Suy ra \({P_{\min }} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3} + \frac{{3\sqrt 2 – \sqrt 6 }}{6} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}\).
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời