Cho các số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} – 1 – i} \right| = 1\) và \(\left| {{z_2} – 2 + i} \right| = 2\). Số phức \(z\) thay đổi sao cho \(\left( {\overline {z – {z_1}} } \right)\left( {1 + i – {z_1}} \right)\) và \(\left( {z – {z_2}} \right)\left( {\overline {{z_2}} – 2 – i} \right)\) là số thuần ảo. Giá trị nhỏ nhất \(\left| {z – 3 + 2i} \right|\) bằng
A. \(2\).
B. \(\frac{{11}}{5}\).
C. \(\frac{1}{3}\).
D. \(3\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Nhận xét.
Chúng ta dễ dàng kiểm tra được kết quả sau.
Với \(A,B,C,D\) lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\).
Khi đó: Nếu \(\left( {\overline {{z_1}} – \overline {{z_2}} } \right)\left( {{z_3} – {z_4}} \right)\) là số thuần ảo thì \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {CD} \).
Quay trở lại bài toán.
Đặt \(A,B,C\) lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức \({z_1},{z_2},z\). Khi đó, điểm \(A\) thuộc đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 1\) và điểm \(B\) thuộc đường tròn \(\left( {C’} \right):{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4\).
Từ \(\left( {\overline {z – {z_1}} } \right)\left( {1 + i – {z_1}} \right)\) và \(\left( {z – {z_2}} \right)\left( {\overline {{z_2}} – 2 – i} \right)\) là số thuần ảo \( \Rightarrow \) \(IA \bot AC\) và \(I’B \bot BC\). Trong đó, \(I\) và \(I’\) lần lượt là tâm của các đường tròn \(\left( C \right)\) và \(\left( {C’} \right)\). Từ đây, ta suy ra điểm \(C\) thuộc tiếp tuyến chung của hai đường tròn \(\left( C \right)\) và \(\left( {C’} \right)\). Chúng ta viết được tiếp tuyến chung của hai đường tròn này là \(d:x = 0\) và \(d’:3x + 4y – 12 = 0\).
Đặt \(D\left( {3; – 2} \right)\), ta có: \(\left| {z – 3 + 2i} \right| = CD\).
+) Trường hợp: \(C \in d \Rightarrow minCD = d\left( {D,d} \right) = 2\).
+) Trường hợp: \(C \in d’ \Rightarrow minCD = d\left( {D,d’} \right) = \frac{{11}}{5}\).
Vậy: \(\min \left| {z – 3 + 2i} \right| = 2\).
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời