Cho biểu thức \(P = \left| {z – 1 – 2i} \right| + \left| {z – 3 – 4i} \right| + \left| {z – 5 – 6i} \right|\) và xét các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {z + 2} \right| = \left| {1 + 2i} \right|.\) Biết \(\min P = a\sqrt b \) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của \(P = a + b\) bằng

Câu hỏi: Cho biểu thức \(P = \left| {z – 1 – 2i} \right| + \left| {z – 3 – 4i} \right| + \left| {z – 5 – 6i} \right|\) và xét các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {z + 2} \right| = \left| {1 + 2i} \right|.\) Biết \(\min P = a\sqrt b \) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của \(P = a + b\) bằng

A. \(P = 10.\)

B. \(P = 11.\)

C. \(P = 12.\)

D. \(P = 13.\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Đặt \(E(x;y)\) là điểm biểu diễn số phức \(z\) và \(A(1;2),\;B(3;4),\;C(5;6)\).

Ta có \(P = \left| {z – 1 – 2i} \right| + \left| {z – 3 – 4i} \right| + \left| {z – 5 – 6i} \right| = EA + EB + EC\)

Mặt khác các điểm \(A,\;B,\;C\) thuộc đường thẳng \(\Delta 😡 – y + 1 = 0\).

Từ giả thiết \(\left| {z + 2} \right| = \left| {1 + 2i} \right| \Rightarrow {(x + 2)^2} + {y^2} = 5 \Rightarrow E\) thuộc đường tròn tâm \(I( – 2;0)\) bán kính \(R = \sqrt 5 \)

Từ đó suy ra \({P_{\min }} \Leftrightarrow E \equiv N \Rightarrow E(0;1) \Rightarrow {P_{\min }} = \sqrt 2 + 3\sqrt 2 + 5\sqrt 2 = 9\sqrt 2 \Rightarrow a + b = 11\).

=======