Cho biết \({z_1},\,{z_2}\) là hai trong các số phức thỏa mãn điều kiện \(\left| {z – i} \right| = \left| {z – 1} \right|\) và \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 4\sqrt 2 \). Gọi \(w\) là số phức thỏa mãn điều kiện \(2\left| {w + 2 – i} \right| + 3\left| {w – 1 + 2i} \right| \le 6\sqrt 2 \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {w – {z_1}} \right| + \left| {w – {z_2}} \right|\) bằng

Câu hỏi: Cho biết \({z_1},\,{z_2}\) là hai trong các số phức thỏa mãn điều kiện \(\left| {z – i} \right| = \left| {z – 1} \right|\) và \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 4\sqrt 2 \). Gọi \(w\) là số phức thỏa mãn điều kiện \(2\left| {w + 2 – i} \right| + 3\left| {w – 1 + 2i} \right| \le 6\sqrt 2 \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {w – {z_1}} \right| + \left| {w – {z_2}} \right|\) bằng A. \(5\sqrt 2 \).  B. \(6\sqrt 2 \).  C. \(3\sqrt 2 \).  D. \(4\sqrt 2 \). LỜI GIẢI CHI TIẾT Gọi \(z = x + y.i\) với \(x,y \in \mathbb{R}\). Ta có: \(\left| {z – i} \right| = \left| {z – 1} \right|\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = {\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} \Leftrightarrow x – y = 0\). Vậy số phức \({z_1},\,{z_2}\) có các điểm biểu diễn là \({M_1},\,{M_2}\) thuộc đường thẳng \(x – y = 0\,\,\left( d \right)\). Gọi \(M\) là điểm biểu diễn cho số phức \(w\). Ta có: \(2\left| {w + 2 – i} \right| + 3\left| {w – 1 + 2i} \right| \le 6\sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow 2\left| {w – \left( { – 2 + i} \right)} \right| + 3\left| {w – \left( {1 – 2i} \right)} \right| \le 6\sqrt 2 \) \( \Leftrightarrow 2MA + 3MB \le 6\sqrt 2 \,\,\left( 1 \right)\) với \(A\left( { – 2;1} \right),\,B\left( {1; – 2} \right)\), \(AB = 3\sqrt 2 \). Vậy \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2AB = 6\sqrt 2  \ge 2MA + 3MB = 2\left( {MA + MB} \right) + MB \ge 2AB + MB\). \( \Rightarrow 2AB \ge 2AB + MB \ge 2AB\). Dấu  xảy ra khi \(M\) thuộc đoạn \(AB\) và \(MB = 0\)\( \Leftrightarrow M \equiv B\). Suy ra \(M\left( {1; – 2} \right) \Rightarrow w = 1 – 2i\). \(P = \left| {1 – 2i – {z_1}} \right| + \left| {1 – 2i – {z_2}} \right| = M{M_1} + M{M_2}\) với \({M_1},\,{M_2}\) thuộc đường thẳng \(x – y = 0\,\,\left( d \right)\) và \({M_1}{M_2} = 4\sqrt 2 \). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên đường thẳng \(d\), ta có \({d_{\left( {M,d} \right)}} = \frac{3}{{\sqrt 2 }} = MH\). Không mất tính tổng quát, đặt \({M_1}H = a \ge 0\). TH1: \(H\) nằm trong đoạn thẳng \({M_1}{M_2}\).

\(P = \sqrt {{M_1}{H^2} + H{M^2}}  + \sqrt {{M_2}{H^2} + H{M^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{3}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {4\sqrt 2  – a} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} \). Đặt \(\overrightarrow u  = \left( {a;\,\frac{3}{{\sqrt 2 }}} \right),\,\overrightarrow v  = \left( {4\sqrt 2  – a;\frac{3}{{\sqrt 2 }}} \right)\). Áp dụng \(\left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow v } \right| \ge \left| {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right|\) ta được \(P \ge \sqrt {32 + 18}  = 5\sqrt 2 \). Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(\overrightarrow u  = k\overrightarrow v ,k > 0\) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{\sqrt 2 }} = k.\frac{3}{{\sqrt 2 }}\\a = k.\left( {4\sqrt 2  – a} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 1 > 0\\a = 2\sqrt 2 \end{array} \right.\). TH2: \(H\) không thuộc đoạn thẳng \({M_1}{M_2}\), giả sử \(H\) nằm bên trái \({M_1}{M_2}\).

\(P = \sqrt {{M_1}{H^2} + H{M^2}}  + \sqrt {{M_2}{H^2} + H{M^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{3}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\frac{3}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {4\sqrt 2  + a} \right)}^2}} \). Vì \(a > 0\)nên \(P > \sqrt {\frac{9}{2}}  + \sqrt {32 + \frac{9}{2}}  = \frac{3}{{\sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {73} }}{{\sqrt 2 }} > 5\sqrt 2 \). Vậy \({P_{\min }} = 5\sqrt 2 \). ======= Lý thuyết KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb\) và \(i^2=-1\)). Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\) Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ. Độ dài của vectơ OM  là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow = \sqrt + } .\) Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a – bi.\)

Một số tính chất cần lưu ý của số phức

Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb\subset \mathbb.\) Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0). Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo. Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb)\) gọi là dạng đại số của số phức. Ta có: ​\(\left| \right| = \left| z \right|\). \(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực. \(z = – \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.