Cho ba số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = 1,\left| {{z_2}} \right| = \sqrt 7 \), \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = \sqrt 2 \) và giá trị lớn nhất của \(\left| {3{z_1} + 2{z_2} + {z_3}} \right|\) bằng 78. Giá trị \(\left| {{z_3}} \right|\) bằng
A. \(\sqrt 5 \).
B. \(5\sqrt 5 \).
C. \(5\).
D. \(5 + \sqrt 5 \).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \({z_1} = a + bi,\,{z_2} = c + di\,\,\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)\)
Theo giả thiết ta có:
\({\left| {{z_1}} \right|^2} = {\left| {a + bi} \right|^2} = {a^2} + {b^2} = 1\)
\({\left| {{z_2}} \right|^2} = {\left| {c + di} \right|^2} = {c^2} + {d^2} = 7\)
\(\begin{array}{l}{\left| {{z_1} – {z_2}} \right|^2} = {\left| {\left( {a + bi} \right) – \left( {c + di} \right)} \right|^2} = {\left| {\left( {a – c} \right) + \left( {b – d} \right)i} \right|^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {a – c} \right)^2} + {\left( {b – d} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {{c^2} + {d^2}} \right) – 2\left( {ac + bd} \right) = 2\end{array}\)
Từ đó suy ra \(ac + bd = 3\).
Mặt khác ta có:
\(\begin{array}{l}{\left| {3{z_1} + 2{z_2}} \right|^2} = {\left( {3a + 2c} \right)^2} + {\left( {3b + 2d} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 9\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 4\left( {{c^2} + {d^2}} \right) + 12\left( {ac + bd} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 73\end{array}\)
Theo bất đẳng thức môđun ta có
\(\begin{array}{l}\left| {3{z_1} + 2{z_2} + {z_3}} \right| \le \left| {3{z_1} + 2{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right|\\ \Rightarrow {\left| {3{z_1} + 2{z_2} + {z_3}} \right|_{Max}} = \left| {3{z_1} + 2{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| = 78\\ \Rightarrow \left| {{z_3}} \right| = 78 – 73 = 5\end{array}\)
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời