Các số phức \({z_1}\), \({z_2}\)thỏa mãn \(w = \frac{{{z_1} + 2 – i}}{{\left( {{z_1} + \overline {{z_1}} } \right)i + 1}}\)là số thực và \(\left| {4{{\rm{z}}_2} + 8 + 13i} \right| = 4\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {{z_1} + {z_2}} \right|\)bằng

Câu hỏi: Các số phức \({z_1}\), \({z_2}\)thỏa mãn \(w = \frac{{{z_1} + 2 – i}}{{\left( {{z_1} + \overline {{z_1}} } \right)i + 1}}\)là số thực và \(\left| {4{{\rm{z}}_2} + 8 + 13i} \right| = 4\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {{z_1} + {z_2}} \right|\)bằng A. 0.  B. \(\frac{{\sqrt {37}  – 4}}{4}\).  C. \(\frac{{21}}{{16}}\).  D. \(\frac{{\sqrt {37} }}{4}\). LỜI GIẢI CHI TIẾT + Đặt \({z_1} = x + yi\), \(\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\), ta có \(w = \frac{{{z_1} + 2 – i}}{{\left( {{z_1} + \overline {{z_1}} } \right)i + 1}} = \frac{{\left( {x + 2} \right) + \left( {y – 1} \right)i}}{{1 + 2xi}} = \frac{{x + 2 + 2x\left( {y – 1} \right) + \left[ {y – 1 – 2x\left( {x + 2} \right)} \right]i}}{{1 + 4{x^2}}}\). + Vì \(w\)là số thực nên \(y – 1 – 2x\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 2{x^2} + 4x + 1\). \(\left| {4{{\rm{z}}_2} + 8 + 13i} \right| = 4 \Leftrightarrow \left| {{{\rm{z}}_2} + 2 + \frac{{13}}{4}i} \right| = 1 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{13}}{4}} \right)^2} = 1\). + \(P = \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {{z_1} – \left( { – {z_2}} \right)} \right|\) + Gọi \(M\)là điểm biểu diễn của \({z_1}\)thì điểm \(M\)thuộc parabol \(\left( P \right):y = 2{x^2} + 4x + 1\). Gọi \(N\)là điểm biểu diễn của \({z_2}\)thì điểm \(N\)thuộc đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{13}}{4}} \right)^2} = 1\) Gọi \({N_1}\)là điểm biểu diễn của \( – {z_2}\)thì điểm \({N_1}\)thuộc đường tròn \(\left( {{C_1}} \right):{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – \frac{{13}}{4}} \right)^2} = 1\)

+ Phương trình tiếp tuyến \(\Delta \)của \(\left( P \right)\)tại \(T\left( {{x_0},2x_0^2 + 4{x_0} + 1} \right),\)\(\left( {{x_0} >  – 1} \right)\)là \(y = \left( {4{x_0} + 4} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + 2x_0^2 + 4{x_0} + 1\)\( \Leftrightarrow \left( {4{x_0} + 4} \right)x – y – 2x_0^2 + 1 = 0\). + Khi đó: \({P_{min}} \Leftrightarrow {\left( {M{N_1}} \right)_{min}} \Leftrightarrow T\)là hình chiếu vuông góc của \(I\)lên \(\Delta \), với \(I\left( {2,\frac{{13}}{4}} \right)\)là tâm \(\left( {{C_1}} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {IT} \)cùng phương với VTPT \(\overrightarrow {{n_\Delta }} \), với \(\overrightarrow {IT}  = \left( {{x_0} – 2,2x_0^2 + 4{x_0} – \frac{9}{4}} \right)\), \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {4{x_0} + 4, – 1} \right)\) \( \Leftrightarrow \left( {4{x_0} + 4} \right)\left( {2x_0^2 + 4{x_0} – \frac{9}{4}} \right) = 2 – {x_0}\)\( \Leftrightarrow 8x_0^3 + 24x_0^2 + 8{x_0} – 11 = 0\) \( \Leftrightarrow {x_0} = \frac{1}{2} \Rightarrow T\left( {\frac{1}{2},\frac{7}{2}} \right)\) Vậy \({P_{min}} = IT – R = \frac{{\sqrt {37} }}{4} – 1 = \frac{{\sqrt {37}  – 4}}{4}\). ======= Lý thuyết KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb\) và \(i^2=-1\)). Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\) Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ. Độ dài của vectơ OM  là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow = \sqrt + } .\) Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a – bi.\)

Một số tính chất cần lưu ý của số phức

Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb\subset \mathbb.\) Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0). Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo. Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb)\) gọi là dạng đại số của số phức. Ta có: ​\(\left| \right| = \left| z \right|\). \(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực. \(z = – \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.