Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Biết rằng phương trình \(\left( {z + 3i} \right)z = z – i\) có hai nghiệm \({z_1} = {a_1} + {b_1}i\); \({z_2} = {a_2} + {b_2}i\) trong đó \({a_1},{a_2},{b_1},{b_2}\) là các số thực và \({b_1} < {b_2}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
A.\({b_1} – {b_2} > – 2.\)
B. \({b_1} – {b_2} < – 2.\)
C. \({b_1} – {b_2} > – 3.\)
D. \({b_1} – {b_2} < – 3.\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Giả sử \(z = a + bi\) trong đó \(a\,,\,\,b \in \mathbb{R}\).
Ta có: \(\left( {z + 3i} \right)z = z – i\)\( \Leftrightarrow {z^2} + 3iz = z – i \Leftrightarrow {\left( {a + bi} \right)^2} + 3i\left( {a + bi} \right) = a + bi – i\)\( \Leftrightarrow {a^2} + 2abi – {b^2} + 3ai – 3b = a + bi – i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} – {b^2} – 3b = a{\rm{ }}\\2ab + 3a = b – 1{\rm{ }}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} – {b^2} – 3b = a{\rm{ }}(1)\\a\left( {2b + 3} \right) = b – 1{\rm{ (2)}}\end{array} \right.\,\,\,(*)\)
+ Trường hợp 1: \(b = – \frac{3}{2}.\)
Phương trìnhtương đương: \(0 = – \frac{5}{2}\).
+ Trường hợp 2: \(b \ne – \frac{3}{2}.\)
Phương trìnhtương đương: \(a = \frac{{b – 1}}{{2b + 3}}.\)
Thay \(a = \frac{{b – 1}}{{2b + 3}}\) vào phương trìnhta có: \({\left( {\frac{{b – 1}}{{2b + 3}}} \right)^2} – {b^2} – 3b = \frac{{b – 1}}{{2b + 3}}\)
\( \Rightarrow {\left( {b – 1} \right)^2} – {\left( {2b + 3} \right)^2}\left( {{b^2} + 3b} \right) = \left( {b – 1} \right)\left( {2b + 3} \right)\)
\( \Leftrightarrow {b^2} – 2b + 1 – \left( {4{b^2} + 12b + 9} \right)\left( {{b^2} + 3b} \right) = 2{b^2} + b – 3\)
\( \Leftrightarrow {b^2} – 2b + 1 – 4{b^4} – 12{b^3} – 9{b^2} – 12{b^3} – 36{b^2} – 27b = 2{b^2} + b – 3\)
\( \Leftrightarrow – 4{b^4} – 24{b^3} – 46{b^2} – 30b + 4 = 0.\)
Đặt \(f(b) = – 4{b^4} – 24{b^3} – 46{b^2} – 30b + 4 \Rightarrow f'(b) = – 16{b^3} – 72{b^2} – 92b – 30.\)
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình \(f(b) = 0\) có đúng hai nghiệm khác \( – \frac{3}{2}\) nên hệ phương trìnhcó đúng hai nghiệm. Suy ra phương trình \(\left( {z + 3i} \right)z = z – i\) có đúng hai nghiệm \({z_1} = {a_1} + {b_1}i\); \({z_2} = {a_2} + {b_2}i\), với \({b_1}\) và \({b_2}\),\({b_1} < {b_2}\), là hai nghiệm của phương trình \(f(b) = 0\).
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(f(b) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({b_1} < – \frac{5}{2}\) và \({b_2} > – \frac{1}{2}\) nên \({b_1} – {b_2} < – \frac{5}{2} – \left( { – \frac{1}{2}} \right) = – 2.\)
Trả lời