Câu 4.53 trang 143 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Tìm các giới hạn sau
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {3{x^3} – 5{x^2} + 7} \right)\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \root 3 \of {1000x – {x^3}} \)
Giải
\(\eqalign{
& a)\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^3}\left( {3 – {5 \over x} + {7 \over {{x^3}}}} \right) = – \infty \cr
& b)\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ { – x.\root 3 \of {{{1000} \over {{x^2}}} + 1} } \right] = + \infty \cr} \)
Câu 4.54 trang 143 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Tìm các giới hạn sau
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^2} – 3} \over {{x^3} + {x^2}}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\left| {2 – x} \right|} \over {{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} {{1 – 2{x^2}} \over {x – 3}}\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\sqrt {{x^2} – 4} } \over {x – 2}}.\)
Giải
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{x^2} – 3} \right) = – 3,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{x^3} + {x^2}} \right) = 0\) và \({x^3} + {x^2} = {x^2}\left( {1 + x} \right) > 0\) với mọi \(x > – 1\) và \(x \ne 0.\) Do đó
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^2} – 3} \over {{x^3} + {x^2}}} = – \infty ;\)
b) \({{\left| {2 – x} \right|} \over {{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} = {1 \over {\left| {x – 2} \right|}}\) với mọi \(x \ne 2.\)
Do đó
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\left| {2 – x} \right|} \over {{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {1 \over {\left| {x – 2} \right|}} = + \infty ;\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {1 – 2{x^2}} \right) = – 17 và \(x – 3 > 0\) với mọi \(x > 3.\)
Do đó
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} {{1 – 2{x^2}} \over {x – 3}} = – \infty \);
d) Với mọi \(x > 2,\) ta có
\({{\sqrt {{x^2} – 4} } \over {x – 2}} = {{\sqrt {x – 2} \sqrt {x + 2} } \over {x – 2}} = {{\sqrt {x + 2} } \over {\sqrt {x – 2} }}.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {x + 2} = 2 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {x – 2} = 0\) và \(\sqrt {x – 2} > 0\) với mọi \(x > 2.\) Do đó
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\sqrt {{x^2} – 4} } \over {x – 2}} = + \infty .\)
Câu 4.55 trang 143 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Tìm các giới hạn sau
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{2{x^4} – x – 1} \over {{x^2} + x + 2}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{{x^2} – 5x + 2} \over {2\left| x \right| + 1}}\)
Giải
\(\eqalign{
& a)\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{2 – {1 \over {{x^3}}} – {1 \over {{x^4}}}} \over {{1 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}} + {2 \over {{x^4}}}}} = + \infty \cr
& b)\,\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{{x^2} – 5x + 2} \over { – 2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{1 – {5 \over x} + {2 \over {{x^2}}}} \over { – {2 \over x} + {1 \over {{x^2}}}}}\cr&= + \infty \cr} \)
Câu 4.56 trang 143 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Tìm các giới hạn sau
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {{1 \over x} – {1 \over 3}} \right){1 \over {{{\left( {x – 3} \right)}^3}}}\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ + }} {{4{x^4} – 3} \over {2{x^2} + 3x – 2}}\)
Giải
a) Với mọi \(x \ne 3,\)
\(\left( {{1 \over x} – {1 \over 3}} \right){1 \over {{{\left( {x – 3} \right)}^3}}} = {{3 – x} \over {3x}}.{1 \over {{{\left( {x – 3} \right)}^3}}} = \left( { – {1 \over {3x}}} \right).{1 \over {{{\left( {x – 3} \right)}^2}}}.\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( { – {1 \over {3x}}} \right) = – {1 \over 9} \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {{1 \over x} – {1 \over 3}} \right){1 \over {{{\left( {x – 3} \right)}^3}}} = – \infty ;\)
b) \({{4{x^4} – 3} \over {2{x^2} + 3x – 2}} = {{4{x^4} – 3} \over {2x – 1}}.{1 \over {x + 2}}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ + }} {{4{x^4} – 3} \over {2x – 1}} = {{ – 61} \over 5} \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ + }} {{4{x^4} – 3} \over {2{x^2} + 3x – 2}} = – \infty .\)
Cách giải khác
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ + }} \left( {4{x^4} – 3} \right) = 61 > 0,\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ + }} \left( {2{x^2} + 3x – 2} \right) = 0\) và \(2{x^2} + 3x – 2 Với \( – 2 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ + }} {{4{x^4} – 3} \over {2{x^2} + 3x – 2}} = – \infty .\)
Trả lời