Bài 6: Cung chứa góc – Sách bài tập Toán 9 tập 2
Bài 33 trang 105
Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định và \(\widehat A = \alpha \) không đổi. Tìm quỹ tích giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác đó.
Giải
Chứng minh thuận: Gọi I là giao điểm 3 đường phân giác trong của ∆ABC
\(\widehat {IBC} = {{\widehat B} \over 2};\widehat {ICB} = {{\widehat C} \over 2}\)
\( \Rightarrow \) \(\widehat {IBC} + \widehat {ICB} = {{\widehat B + \widehat C} \over 2}\) mà trong ∆ABC ta có: \(\widehat B + \widehat C = 180^\circ – \widehat A = 180^\circ – \alpha \)
Suy ra: \(\widehat {IBC} + \widehat {ICB} = {{180^\circ – \alpha } \over 2}\)
Trong ∆BIC ta có: \(\widehat {BIC} = 180^\circ – (\widehat {IBC} + \widehat {ICB})\)
Suy ra: \(\widehat {BIC} = 180^\circ – {{180^\circ – \alpha } \over 2} = {{360^\circ – 180^\circ + \alpha } \over 2} = 90^\circ + {\alpha \over 2}\)
Α không đổi \( \Rightarrow \widehat {BIC} = 90^\circ + {\alpha \over 2}\) không đổi.
I thay đổi tạo với 2 đầu đoạn BC cố định một góc bằng 90º + \({\alpha \over 2}\) không đổi
Vậy I nằm trên cung chứa góc 90º + \({\alpha \over 2}\) vẽ trên BC.
Chứng minh đảo: Trên cung chứa góc 90º + \({\alpha \over 2}\) lấy điểm I’ bất kỳ. Vẽ trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm I’ hai tai Bx và Cy sao cho BI’ là phân giác của \(\widehat {CBx},CI’\) là phân giác của \(\widehat {BCy}\).
Bx cắt Cy tại A¢.
Trong ∆BI¢C ta có: \(\widehat {BI’C} = 90 + {\alpha \over 2}\)
\( \Rightarrow \widehat {I’BC} + \widehat {I’CB} = 180^\circ – \widehat {BI’C} = 180^\circ – \left( {90^\circ + {\alpha \over 2}} \right) = {{180^\circ – \alpha } \over 2}\)
\(\widehat {CBA’} = 2\widehat {I’BC};\widehat {BCA’} = 2\widehat {I’CB}\)
\( \Rightarrow \widehat {CBA’} + \widehat {BCA’} = 2.{{180^\circ – \alpha } \over 2} = 180^\circ – \alpha \)
Trong ∆A¢BC ta có:
\(\widehat {BA’C} = 180^\circ – (\widehat {CBA’} + \widehat {BCA’}) = 180^\circ – (180^\circ – \alpha ) = \alpha \)
Vậy quỹ tích giao điểm 3 đường phân giác trong ∆ABC khi \(\widehat A = \alpha \) không đổi, BC cố định là 2 cung chứa góc \(90^\circ + {\alpha \over 2}\) vẽ trên BC..
Bài 34 trang 105 Sách bài tập Toán 9
Dựng cung chứa góc 420 trên đoạn thẳng AB = 3 cm.
HD giải:
Cách dựng:
− Dựng đoạn AB = 3 cm
− Dựng \(\widehat {BAx} = 42^\circ \)
− Dựng đường thẳng d là trung trực của AB
− Dựng tia Ay ⊥ Ax tại A
Tia Ay cắt đường trung trực d của AB tại O.
− Dựng cung tròn \(\overparen{AmB}\) tâm O bán kính OA
− Dựng điểm O’ đối xứng với O qua AB.
− Dựng cung tròn \(\overparen{Am’B}\) tâm O¢ bán kính O’A.
Câu 6.1, 6.2, 6.3 trang 106
Câu 6.1
Dựng một cung chứa góc 600 trên đoạn thẳng AB cho trước.
Giải
Cách dựng: − Dựng đoạn thẳng AB.
− Dựng tia Ax sao cho \(\widehat {BAx} = 60^\circ \).
− Dựng đường thẳng d là trung trực của AB.
− Dựng tia Ay ⊥ Ax tại A.
− Tia Ay cắt đường thẳng d tại O.
− Dựng cung tròn tâm O bán kính OA.
− Dựng O’ đối xứng với O qua AB.
− Dựng cung tròn tâm O’ bán kính O’A.
Ta có cung chứa góc 60º vẽ trên đoạn AB cho trước.
Câu 6.2
Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm A (khác O) ở trong đường tròn đó.
Một đường thẳng d thay đổi, luôn đi qua A, cắt đường tròn đã cho tại hai điểm là B và C. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng BC.
Giải
Chứng minh thuận:
Đường tròn (O) cho trước, điểm A cố định nên OA có độ dài không đổi.
∆OBC cân tại O (vì OB = OC bán kính)
IB = IC (gt) nên OI là đường trung tuyến vừa là đường cao
\( \Rightarrow \) OI ⊥ BC
\( \Rightarrow \widehat {OIA} = 90^\circ \)
Đường thẳng d thay đổi nên B, C thay đổi thì I thay đổi tạo với 2 đầu đoạn OA cố định góc \(\widehat {OIA} = 90^\circ \). Vậy I chuyển động trên đường tròn đường kính OA.
Chứng minh đảo: Lấy điểm I’ bất kỳ trên đường tròn đường kính AO. Đường thẳng AI’ cắt đường tròn (O) tại 2 điểm B’ và C’.
Ta chứng minh: I’B = I’C’.
Trong đường tròn đường kính AO ta có \(\widehat {OI’A} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow \) OI’⊥ B’C’
\( \Rightarrow \) I’B’ = I’C’ (đường kính vuông góc với dây cung)
Vậy quỹ tích các điểm I là trung điểm của dây BC của đường tròn tâm O khi BC quay xung quanh điểm A cố định là đường tròn đường kính AO.
Câu 6.3
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Xác định vị trí của điểm M trong tam giác sao cho
\(MA + MB + MC\) nhỏ nhất.
Giải
Trong ∆ABC ta lấy điểm M. Nối MA, MB, MC.
Ta cần làm xuất hiện tổng MA + MB + MC sau đó tìm điều kiện để tổng đó nhỏ nhất.
Lấy MC làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A tam giác đều MCN. Suy ra: CM = MN.
Lấy AC làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B tam giác đều APC.
Xét ∆AMC và ∆PNC:
CM = CN (vì ∆MCN đều)
CA = CP (vì ∆APC đều)
\(\widehat {MCA} + \widehat {ACN} = 60^\circ \)
\(\widehat {ACN} + \widehat {NCP} = 60^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {MCA} = \widehat {NCP}\)
Suy ra: ∆AMC = ∆PNC (c.g.c)
\( \Rightarrow \) PN = AM
MA + MB + MC = MB + MN + NP
Ta có ∆ABC cho trước nên điểm P cố định nên BM + MN + NP ngắn nhất khi 4 điểm B, M, N, P thẳng hàng.
Vì \(\widehat {CMN} = 60^\circ \) nên 3 điểm B, M, N thẳng hàng khi và chỉ khi \(\widehat {BMC} = 120^\circ \)
Vì \(\widehat {CNM} = 60^\circ \) nên 3 điểm M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi \(\widehat {CNP} = 120^\circ \)
Mà ∆AMC = ∆PNC (chứng minh trên) \( \Rightarrow \widehat {AMC} = \widehat {PNC} = 120^\circ \)
Vậy MA + MB + MC bé nhất khi và chỉ khi \(\widehat {BMC} = 120^\circ \) và \(\widehat {AMC} = 120^\circ \)
Vậy M là giao điểm của 2 cung chứa góc 120º dựng trên BC và AC.
Bài 35 trang 106 SBT Toán 9 tập 2
Dựng tam giác ABC, biết BC = 3 cm, \(\widehat A = {45^0}\) và trung tuyến AM = 2,5 cm.
Giải
Cách dựng
− Dựng đoạn BC = 3cm
− Dựng \(\widehat {CBx} = 45^\circ \)
− Dựng trung điểm M của BC
− Dựng trung trực BC
− Dựng tia vuông góc Bx tại B cắt đường trung trực BC tại O.
− Dựng cung tròn \(\overparen{BmC}\) bán kính OB là cung chứa góc 45º vẽ trên BC.
− Dựng cung tròn tâm M bán kính 2,5 cm cắt cung \(\overparen{BmC}\) tại A và A¢.
− Nối AB, AC (hoặc A’B, A’C) ta có ∆ABC (hoặc ∆A’BC) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vì BC = 3 cm, nên bán kính OB = \({{3\sqrt 2 } \over 2}\) (cm).
Khoảng cách 2 tâm MO = \({{3\sqrt 2 } \over 2}\) (cm)
\({{3\sqrt 2 } \over 2} – 2,5 < MO < {{3\sqrt 2 } \over 2} + 2,5\) nên (O) và (M) luôn cắt nhau. Bài toán luôn dựng được.
Bài 36 trang 106
Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. C là điểm trên nửa đường tròn, trên dây AC kéo dài lấy điểm D sao cho CD = CB.
a) Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho.
b) Trên tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB. Tìm quỹ tích các điểm E khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho.
Giải
a) Chứng minh thuận:
Ta có: \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra: \(\widehat {BCD} = 90^\circ \)
CD = CB (gt)
Suy ra: ∆BCD vuông cân tại C.
\( \Rightarrow \widehat {CDB} = 45^\circ \) hay \(\widehat {ADB} = 45^\circ \)
AB cố định. Khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB thì D chuyển động trên cung chứa góc 45º dựng trên đoạn thẳng AB cố định.
Ta có dây AC thay đổi phụ thuộc vào vị trí điểm C trên nửa đường tròn đường kính AB.
− Dây AC lớn nhất bằng đường kính của đường tròn. Khi C trùng với B khi đó D trùng với B. Vậy B là điểm của quỹ tích.
− Dây AC nhỏ nhất có độ dài bằng 0 khi C trùng với A, thì khi đó D trùng ới B’ là giao điểm của tiếp tuyến đường tròn đường kính AB tại A với cung chứa góc 45º vẽ trên AB.
Chứng minh đảo: Lấy điểm D’ tùy ý trên cung BB’, nối AD’ cắt đường tròn đường kính AB tại C’. Nối BC’, B’D’.
Ta có: \(\widehat {AD’B} = 45^\circ \) (vì D’ nằm trên cung chứa góc 45º vẽ trên AB).
Trong đường tròn đường kính AB ta có:
\(\widehat {AC’B} = 90^\circ \) ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow \widehat {BC’D’} = 90^\circ \)
Suy ra: ∆BC’D’ vuông cân tại C’
\( \Rightarrow \) C’B = C’D’
Vậy quỹ tích các điểm D khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB là cung \(\overparen{BB’}\) nằm trên cung chứa góc 45º vẽ trên đoạn AB, trong nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C.
b) Chứng minh thuận:
Trong đường tròn đường kính AB ta có:
\(\widehat {ACB} = 90^\circ \) ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
CB = CE (gt)
\( \Rightarrow \) ∆CBE vuông tại C
\( \Rightarrow \widehat {CEB} = 45^\circ \)
\(\widehat {CEB} + \widehat {AEB} = 180^\circ \) ( hai góc kề bù)
\( \Rightarrow \widehat {AEB} = 135^\circ \)
AB cố định, C chuyển động trên đường tròn đường kính AB thì E chuyển động trên cung chứa góc 135º dựng trên đoạn AB cố định.
− Khi dây AC có độ dài lớn nhất bằng đường kính đường tròn, thì C trùng với B nên E trùng với B \( \Rightarrow \) B là 1 điểm của quỹ tích.
− Khi dây AC có độ dài nhỏ nhất bằng 0 thì C trùng với A. Khi đó E trùng A nên A là 1 điểm của quỹ tích.
Vậy E chuyển động trên 1 cung chứa góc 135º vẽ trên đoạn AB nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C.
Chứng minh đảo: Lấy E’ bất kỳ trên cung chứa góc 135º. Kẻ AE’ cắt đường tròn đường kính AB tại C’. Nối BE’, BC’.
Ta có: \(\widehat {AE’B} = 135^\circ \) ( vì E’ nằm trên cung chứa góc 135º)
\(\widehat {AE’B} + \widehat {BE’C} = 180^\circ \) ( kề bù)
\( \Rightarrow \widehat {BE’C’} = 180^\circ – \widehat {AE’B} = 180^\circ – 135^\circ = 45^\circ \)
Trong đường tròn đường kính AB ta có:
\(\widehat {AC’B} = 90^\circ \) ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra: ∆E’C’B vuông cân tại C’. \( \Rightarrow \) C¢E¢ = C¢B
Vậy quỹ tích các điểm E khi C chuyển động trên đường tròn đường kính AB là một cung chứa góc 135º vẽ trên đoạn AB nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C.
Bài 37 trang 106 SBT Toán 9 tập 2
Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm trên nửa đường tròn. Trên bán kính OC lấy điểm D sao cho OD bằng khoảng cách CH từ C đến AB. Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho.
Giải
Chứng minh thuận:
Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt nửa đường tròn đường kính AB tại P. O cố định, đường tròn đường kính AB cố định suy ra P cố định.
Nối PD. Ta có: OP // CH ( vì hai đường thẳng cùng vuông góc với AB)
Xét ∆OCH và ∆OPD:
OD = CH (gt)
OP = OC ( bán kính)
\(\widehat {POD} = \widehat {OCH}\) ( so le trong)
Suy ra: ∆DOP = ∆HCO (c.g.c)
\( \Rightarrow \)\(\widehat {ODP} = \widehat {CHO}\) mà \(\widehat {CHO} = 90^\circ \) nên \(\widehat {ODP} = 90^\circ \)
Khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB thì D thay đổi tạo với 2 đầu đoạn thẳng OP cố định một góc \(\widehat {OPD} = 90^\circ \). Vậy D chuyển động trên đường tròn đường kính OP.
Chứng minh đảo: Lấy điểm D¢ bất kỳ trên đường tròn đường kính OP. Kẻ OD’ cắt nửa đường tròn đường kính AB tại C’, kẻ C’H’⊥ AB ta phải chứng minh OD’ = C’H’.
Nối PD’. Xét ∆C’H’O và ∆PD’O
\(\widehat {C’H’O} = \widehat {PD’O} = 90^\circ \)
OC’ = OP ( bán kính đường tròn tâm O)
\(\widehat {D’OP} = \widehat {OC’H’}\) ( so le trong)
Suy ra: ∆C’H’O = ∆PD’O ( cạnh huyền, góc nhọn)
\( \Rightarrow \) C’H’ = OD’
Vậy quỹ tích các điểm D khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB là đường tròn đường kính OP.
Bài 38 trang 106 – Hình 9
Dựng hình vuông ABCD, biết đỉnh A, điểm M thuộc cạnh BC và điểm N thuộc cạnh CD.
Giải
Phân tích: Giả sử hình vuông ABCD dung được thỏa mãn điều kiện bài toán. Ta cần dựng đỉnh C. Đỉnh C thỏa mãn 2 điều kiện:
− \(\widehat {MCN} = 90^\circ \) nên C nằm trên cung chứa góc 90º dựng trên MN.
− Ta có \(\widehat {ACM} = 45^\circ \) ( vì hình vuông có đường chéo là phân giác) nên C nằm trên cung chứa góc 45º vẽ trên AM.
Cách dựng: − Dựng cung chứa góc 90º trên đoạn MN.
− Dựng cung chứa góc 45º trên đoạn AM.
Hai cung cắt nhau tại C, nối CM, CN.
Kẻ AB ⊥ CN tại B, AD ⊥ CN tại D.
Ta có tứ giác ABCD là hình vuông cần dựng.
Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng ta có: \(\widehat C = 90^\circ ,\widehat B = 90^\circ ,\widehat D = 90^\circ \)
Tứ giác ABCD là hình chữ nhật, có điểm M thuộc BC, điểm N thuộc CD. AC là phân giác của \(\widehat C.\)
Vậy: tứ giác ABCD là hình vuông.
Trả lời