Câu 4.46 trang 141 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{{x^2} + 1} \over {x – 1}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} {{{x^2} + 1} \over {x – 1}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ + }} {{\left| {3x + 6} \right|} \over {x + 2}}\) d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ – }} {{\left| {3x + 6} \right|} \over {x + 2}}\) .
Giải
a)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 1} \right) = 2 > 0 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x – 1} \right) > 0 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{{x^2} + 1} \over {x – 1}} = + \infty \cr} \)
b)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( {{x^2} + 1} \right) = 2 > 0 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( {x – 1} \right) & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} {{{x^2} + 1} \over {x – 1}} = – \infty \cr} \)
c) Với \(x > – 2,\) ta có \(3x + 6 = 3\left( {x + 2} \right) > 0.\) Do đó
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ + }} {{\left| {3x + 6} \right|} \over {x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ + }} {{3x + 6} \over {x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ + }} 3 = 3;\)
d) Với \(x \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ – }} {{\left| {3x + 6} \right|} \over {x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ – }} -{{3x + 6} \over {x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ – }}(- 3) =- 3\)
Câu 4.47 trang 142 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Tìm các giới hạn sau
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} {{{x^2} – 3x + 2} \over {\sqrt {2 – x} }}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{3\sqrt x – x} \over {\sqrt {2x} + x}}\)
Giải
a) \({{{x^2} – 3x + 2} \over {\sqrt {2 – x} }} = {{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)} \over {\sqrt {2 – x} }} = \left( {1 – x} \right)\sqrt {2 – x} \) với mọi \(x Do đó
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} {{{x^2} – 3x + 2} \over {\sqrt {2 – x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left( {1 – x} \right)\sqrt {2 – x} = 0;\)
b) Với mọi x > 0 ta có:
\(\eqalign{
& {{3\sqrt x – x} \over {\sqrt {2x} + x}} = {{\sqrt x \left( {3 – \sqrt x } \right)} \over {\sqrt x \left( {\sqrt 2 + \sqrt x } \right)}} = {{3 – \sqrt x } \over {\sqrt 2 + \sqrt x }} \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{3\sqrt x – x} \over {\sqrt {2x} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{3 – \sqrt x } \over {\sqrt 2 + \sqrt x }} = {{3\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)
Câu 4.48 trang 142 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Cho hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
\sqrt {9 – {x^2}} \text{ với } – 3 \le x 1\text{ với }x = 3 \hfill \cr
\sqrt {{x^2} – 9} \text{ với }x > 3. \hfill \cr} \right.\)
Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} f\left( x \right),\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right)\) (nếu có).
Giải
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \sqrt {{x^2} – 9} = 0;\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \sqrt {9 – {x^2}} = 0.\)
Do đó
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 0.\)
Câu 4.49 trang 142 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Ta gọi phần nguyên của số thực x là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x và kí hiệu nó là \(\left[ x \right].\)
Chẳng hạn \(\left[ 5 \right] = 5;\left[ {3,12} \right] = 3;\left[ { – 2,725} \right] = – 3.\) vẽ đồ thị ghàm số \(y = \left[ x \right]\) và tìm
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ x \right],\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \left[ x \right]\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ x \right]\) (nếu có).
Giải
Đồ thị (h.4.2).Với \(2 Với \(3 Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \left[ x \right] \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ x \right]\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ x \right]\).
Câu 4.50 trang 142 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Tìm các giới hạn sau
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} {{2x + 1} \over {{x^2} – 3x + 4}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{{{x^3} + 2x + 3} \over {{x^2} + 5}}} \)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} {{{x^3} – {x^2} – x + 10} \over {{x^2} + 3x + 2}}\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 3} \left| {{{9 – {x^2}} \over {2{x^2} + 7x + 3}}} \right|.\)
Giải
a) \( – {1 \over 8};\)
b) \({{\sqrt {15} } \over 3};\)
c) \({{{x^3} – {x^2} – x + 10} \over {{x^2} + 3x + 2}} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} – 3x + 5} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = {{{x^2} – 3x + 5} \over {x + 1}}\) với mọi \(x \ne -2.\) Do đó
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} {{{x^3} – {x^2} – x + 10} \over {{x^2} + 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} {{{x^2} – 3x + 5} \over {x + 1}} = – 15;\)
d)
\(\eqalign{
& {{9 – {x^2}} \over {2{x^2} + 7x + 3}} = {{\left( {3 – x} \right)\left( {3 + x} \right)} \over {\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = {{3 – x} \over {2x + 1}} \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to – 3} \left| {{{9 – {x^2}} \over {2{x^2} + 7x + 3}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 3} \left| {{{3 – x} \over {2x + 1}}} \right| \cr&= \left| {{{3 – \left( { – 3} \right)} \over {2.\left( { – 3} \right) + 1}}} \right| = {6 \over 5} \cr} \)
Câu 4.51 trang 142 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Tìm các giới hạn sau
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\left( {2x – 5} \right){{\left( {1 – x} \right)}^2}} \over {3{x^3} – x + 1}}\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{\left( {2x – 1} \right)\sqrt {{x^2} – 3} } \over {x – 5{x^2}}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {{{{x^4} +{x^2} + 2} \over {\left( {{x^3} + 1} \right)\left( {3x – 1} \right)}}} \)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{2x – 3} \over {\sqrt {{x^2} + 1} – x}}.\)
Giải
a) \({2 \over 3};\)
b) \({2 \over 5};\)
c) \({{\sqrt 3 } \over 3};\)
d) Với mọi \(x \({{2x – 3} \over {\sqrt {{x^2} + 1} – x}} = {{2x – 3} \over {\left| x \right|\sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} – x}} = {{2x – 3} \over { – x\sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} – x}} = {{2 – {3 \over x}} \over { – \sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} – 1}}\)
Do đó
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{2x – 3} \over {\sqrt {{x^2} + 1} – x}} = – 1.\)
Câu 4.52 trang 143 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Tìm các giới hạn sau
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} {{{x^2} – 4} \over {\sqrt {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {2 – x} \right)} }}\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ – }} {{{x^2} + 3x + 2} \over {\left| {x + 1} \right|}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} {{{x^2} + 3x + 2} \over {\left| {x + 1} \right|}}\) d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{{x^3} – 1} \over {\sqrt {{x^2} – 1} }}.\)
Giải
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} {{ – \left( {x + 2} \right)\sqrt {2 – x} } \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} = 0\);
b) Với \(x \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ – }} {{{x^2} + 3x + 2} \over {\left| {x + 1} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ – }} \left( { – x – 2} \right) = – 1.\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} {{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \over {x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} \left( {x + 2} \right) = – 1 + 2 = 1\);
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)} \over {\sqrt {{x^2} – 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{\sqrt {x – 1} \left( {{x^2} + x + 1} \right)} \over {\sqrt {x + 1} }} = 0\).
Trả lời