Câu 36 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Áp dụng quy tắc khai phương một thương , hãy tính:
a) \(\sqrt {{9 \over {169}}} \);
b) \(\sqrt {{{25} \over {144}}} \);
c) \(\sqrt {1{9 \over {16}}} \);
d) \(\sqrt {2{7 \over {81}}} \).
Gợi ý làm bài
a) \(\sqrt {{9 \over {169}}} = {{\sqrt 9 } \over {\sqrt {169} }} = {3 \over {13}}\)
b) \(\sqrt {{{25} \over {144}}} = {{\sqrt {25} } \over {\sqrt {144} }} = {5 \over {12}}\)
c) \(\sqrt {1{9 \over {16}}} = \sqrt {{{25} \over {16}}} = {{\sqrt {25} } \over {\sqrt {16} }} = {5 \over 4}\)
d) \(\sqrt {2{7 \over {81}}} = \sqrt {{{169} \over {81}}} = {{\sqrt {169} } \over {\sqrt {81} }} = {{13} \over 9}\)
Câu 37 trang 11 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Áp dụng quy tắc chia hai căn bậc hai, hãy tính:
a) \({{\sqrt {2300} } \over {\sqrt {23} }}\)
b) \({{\sqrt {12,5} } \over {\sqrt {0,5} }}\)
c) \({{\sqrt {192} } \over {\sqrt {12} }}\)
d) \({{\sqrt 6 } \over {\sqrt {150} }}\)
Gợi ý làm bài
a) \({{\sqrt {2300} } \over {\sqrt {23} }} = \sqrt {{{2300} \over {23}}} = \sqrt {100} = 10\)
b) \({{\sqrt {12,5} } \over {\sqrt {0,5} }} = \sqrt {{{12,5} \over {0,5}}} = \sqrt {25} = 5\)
c) \({{\sqrt {192} } \over {\sqrt {12} }} = \sqrt {{{192} \over {12}}} = \sqrt {16} = 4\)
d) \({{\sqrt 6 } \over {\sqrt {150} }} = \sqrt {{6 \over {150}}} = \sqrt {{1 \over {50}}} = {1 \over 5}\)
Câu 38 trang 11 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho các biểu thức:
A= \(\sqrt {{{2x + 3} \over {x – 3}}} \) và B = \({{\sqrt {2x + 3} } \over {\sqrt {x – 3} }}\)
a) Tìm x để A có nghĩa. Tìm x để B có nghĩa .
b) Với giá trị nào của x thì A=B ?
Gợi ý làm bài
a) Ta có: \(\sqrt {{{2x + 3} \over {x – 3}}} \) có nghĩa khi và chỉ khi \({{2x + 3} \over {x – 3}} \ge 0\)
Trường hợp 1:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
2x + 3 \ge 0 \hfill \cr
x – 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x \ge 3 \hfill \cr
x \ge 3 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – {3 \over 2} \hfill \cr
x \ge 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 3 \cr} \)
Trường hợp 2:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
2x + 3 \le 0 \hfill \cr
x – 3 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x < – 3 \hfill \cr
x < 3 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le – {3 \over 2} \hfill \cr
x < 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le – {3 \over 2} \cr} \)
Vậy với x > 3 hoặc x \( \le \) \( – {3 \over 2}\) thì biểu thức A có nghĩa.
Ta có: \({{\sqrt {2x + 3} } \over {\sqrt {x – 3} }}\) có nghĩa khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
2x – 3 \ge 0 \hfill \cr
x – 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x \ge – 3 \hfill \cr
x > 3 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – {3 \over 2} \hfill \cr
x > 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x > 3 \cr} \)
Vậy x > 3 thì biểu thức B có nghĩa.
b) Với x > 3 thì A và B đồng thời có nghĩa.
Vậy với x > 3 thì A = B.
Câu 39 trang 11 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Biểu diễn \(\sqrt {{a \over b}} \) với a < 0 và b < 0 ở dạng thương của hai căn thức.
Áp dụng tính \(\sqrt {{{ – 49} \over { – 81}}} \)
Gợi ý làm bài
Ta có: a < 0 nên –a > 0; b < 0 nên –b > 0
\(\sqrt {{a \over b}} = \sqrt {{{ – a} \over { – b}}} = {{\sqrt { – a} } \over {\sqrt { – b} }}\)
Áp dụng: \(\sqrt {{{ – 49} \over { – 81}}} = {{\sqrt {49} } \over {\sqrt {81} }} = {7 \over 9}\)
Câu 40 trang 11 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Rút gọn các biểu thức:
a) \({{\sqrt {63{y^3}} } \over {\sqrt {7y} }}\) (y>0);
b) \({{\sqrt {48{x^3}} } \over {\sqrt {3{x^5}} }}\) (x > 0);
c) \({{\sqrt {45m{n^2}} } \over {\sqrt {20m} }}\) (m > 0 và n > 0);
d) \({{\sqrt {16{a^4}{b^6}} } \over {\sqrt {128{a^6}{b^6}} }}\) (a < 0 và b ≠ 0).
Gợi ý làm bài
a) \(\eqalign{
& {{\sqrt {63{y^3}} } \over {\sqrt {7y} }} = \sqrt {{{63{y^3}} \over {7y}}} = \sqrt {9{y^2}} \cr
& = \sqrt 9 .\sqrt {{y^2}} = 3.\left| y \right| = 3y \cr} \) (y>0)
b) \(\eqalign{
& {{\sqrt {48{x^3}} } \over {\sqrt {3{x^5}} }} = \sqrt {{{48{x^3}} \over {3{x^5}}}} \cr
& = \sqrt {{{16} \over {{x^2}}}} = {4 \over {\left| x \right|}} = {4 \over x} \cr} \) (x > 0)
c) \(\eqalign{
& {{\sqrt {45m{n^2}} } \over {\sqrt {20m} }} = \sqrt {{{45m{n^2}} \over {20m}}} \cr
& = \sqrt {{{9{n^2}} \over 4}} = {{\sqrt {9{n^2}} } \over {\sqrt 4 }} = {{3\left| n \right|} \over 2} = {{3n} \over 2} \cr} \) (m > 0 và n > 0)
d) \(\eqalign{
& {{\sqrt {16{a^4}{b^6}} } \over {\sqrt {128{a^6}{b^6}} }} = \sqrt {{{16{a^4}{b^6}} \over {128{a^6}{b^6}}}} = \sqrt {{1 \over {8{a^2}}}} \cr
& = {{\sqrt 1 } \over {\sqrt {4{a^2}.2} }} = {1 \over {2\left| a \right|\sqrt 2 }} = {{ – 1} \over {2a\sqrt 2 }} \cr} \)
(a < 0 và b ≠0)
Câu 41 trang 11,12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Rút gọn các biểu thức:
a) \(\sqrt {{{x – 2\sqrt x + 1} \over {x + 2\sqrt x + 1}}} \) (x ≥ 0);
b) \({{x – 1} \over {\sqrt y – 1}}\sqrt {{{{{(y – 2\sqrt y + 1)}^2}} \over {{{(x – 1)}^4}}}} \) (x ≠1, y ≠ 1 và y ≥ 0).
Gợi ý làm bài
a) Vì x ≥ 0 nên \(x = {\left( {\sqrt x } \right)^2}\)
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{x – 2\sqrt x + 1} \over {x + 2\sqrt x + 1}}} \cr
& = \sqrt {{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} – 2\sqrt x + 1} \over {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} + 2\sqrt x + 1}}} \cr
& = \sqrt {{{{{\left( {\sqrt x – 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \cr} \)
\( = {{\sqrt {{{\left( {\sqrt x – 1} \right)}^2}} } \over {\sqrt {{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}} }} = {{\left| {\sqrt x – 1} \right|} \over {\left| {\sqrt x + 1} \right|}} = {{\left| {\sqrt x – 1} \right|} \over {\sqrt x + 1}}\)
– Nếu \(\sqrt x – 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\) thì \(\left| {\sqrt x – 1} \right| = \sqrt x – 1\)
Ta có: \({{\left| {\sqrt x – 1} \right|} \over {\sqrt x + 1}} = {{\sqrt x – 1} \over {\sqrt x + 1}}\) (với x ≥ 1)
– Nếu \(\sqrt x – 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1\) thì \(\left| {\sqrt x – 1} \right| = 1 – \sqrt x \)
Ta có: \({{\left| {\sqrt x – 1} \right|} \over {\sqrt x + 1}} = {{1 – \sqrt x } \over {\sqrt x + 1}}\) (với 0 ≤ x < 1)
b) Vì y ≥ 0 nên \(y = {\left( {\sqrt y } \right)^2}\)
Ta có:
\(\eqalign{
& {{x – 1} \over {\sqrt y – 1}}\sqrt {{{{{\left( {y – 2\sqrt y + 1} \right)}^2}} \over {{{(x – 1)}^4}}}} \cr
& = {{x – 1} \over {\sqrt y – 1}}{{\sqrt {{{\left( {y – 2\sqrt y + 1} \right)}^2}} } \over {\sqrt {{{(x – 1)}^4}} }} \cr} \)
\(\eqalign{
& = {{x – 1} \over {\sqrt y – 1}}{{\left| {y – 2\sqrt y + 1} \right|} \over {{{(x – 1)}^2}}} \cr
& = {{\left| {{{\left( {\sqrt y } \right)}^2} – 2\sqrt y + 1} \right|} \over {\left( {\sqrt y – 1} \right)(x – 1)}} = {{\left| {{{\left( {\sqrt y – 1} \right)}^2}} \right|} \over {\left( {\sqrt y – 1} \right)(x – 1)}} \cr} \)
\( = {{{{\left( {\sqrt y – 1} \right)}^2}} \over {\left( {\sqrt y – 1} \right)(x – 1)}} = {{\sqrt y – 1} \over {x – 1}}\) (x ≠ 1, y ≠ 1, y ≥ 0)
Câu 42 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Rút gọn biểu thức với điều kiện đã cho của x rồi tính giá trị của nó:
a) \(\sqrt {{{{{(x – 2)}^4}} \over {{{(3 – x)}^2}}}} + {{{x^2} – 1} \over {x – 3}}\)
(x < 3); tại x = 0,5 ;
b) \(4x – \sqrt 8 + {{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} } \over {\sqrt {x + 2} }}\)
(x > -2); tại x = \( – \sqrt 2 \)
Gợi ý làm bài
a) Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{{{(x – 2)}^4}} \over {{{(3 – x)}^2}}}} + {{{x^2} – 1} \over {x – 3}} \cr
& = {{\sqrt {{{(x – 2)}^4}} } \over {\sqrt {{{(3 – x)}^2}} }} + {{{x^2} – 1} \over {x – 3}} \cr
& = {{{{(x – 2)}^2}} \over {\left| {3 – x} \right|}} + {{{x^2} – 1} \over {x – 3}} \cr} \)
\(\eqalign{
& = {{{x^2} – 4x + 4} \over {3 – x}} + {{{x^2} – 1} \over {x – 3}} \cr
& = {{ – {x^2} + 4x + 4} \over {x – 3}} + {{{x^2} – 1} \over {x – 3}} \cr} \)
\( = {{4x – 5} \over {x – 3}}\) (x<3)
Với x = 0,5 ta có:
\(\eqalign{
& {{4.0,5 – 5} \over {0,5 – 3}} = {{ – 3} \over { – 2,5}} \cr
& = {3 \over {2,5}} = {6 \over 5} = 1,2 \cr} \)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& 4x – \sqrt 8 + {{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} } \over {\sqrt {x + 2} }} \cr
& = 4x – \sqrt 8 + \sqrt {{{{x^3} + 2{x^2}} \over {x + 2}}} \cr} \)
\(\eqalign{
& = 4x – \sqrt 8 + \sqrt {{{{x^2}(x + 2)} \over {x + 2}}} \cr
& = 4x – \sqrt 8 + \sqrt {{x^2}} = 4x – \sqrt 8 + \left| x \right| \cr} \) (x > -2)
– Nếu x > 0 thì \(\left| x \right| = x\)
Ta có:
\(\eqalign{
& 4x – \sqrt 8 + \left| x \right| \cr
& = 4x – \sqrt 8 + x = 5x – \sqrt 8 \cr} \)
Với \(x = – \sqrt 2 \) ta có:
\(5\left( { – \sqrt 2 } \right) – \sqrt 8 = – 5\sqrt 2 – 2\sqrt 2 = – 7\sqrt 2 \)
– Nếu -2 < x < 0 thì \(\left| x \right| = – x\)
Ta có:
\(4x – \sqrt 8 + \left| x \right| = 4x – \sqrt 8 – x = 3x – \sqrt 8 \)
Với \(x = – \sqrt 2 \) ta có: \(3\left( { – \sqrt 2 } \right) – \sqrt 8 = – 3\sqrt 2 – 2\sqrt 2 = – 5\sqrt 2 \)
Câu 43 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Tìm x thỏa mãn điều kiện
a) \(\sqrt {{{2x – 3} \over {x – 1}}} = 2\)
b) \({{\sqrt {2x – 3} } \over {\sqrt {x – 1} }} = 2\)
c) \(\sqrt {{{4x + 3} \over {x + 1}}} = 3\)
d) \({{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }} = 3.\)
Gợi ý làm bài
a) Ta có:
\(\sqrt {{{2x – 3} \over {x – 1}}} \) xác định khi và chỉ khi \({{2x – 3} \over {x – 1}} \ge 0\)
Trường hợp 1:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
2x – 3 \ge 0 \hfill \cr
x – 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x \ge 3 \hfill \cr
x > 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1,5 \hfill \cr
x > 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 1,5 \cr} \)
Trường hợp 2:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
2x – 3 \le 0 \hfill \cr
x – 1 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x \le 3 \hfill \cr
x < 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le 1,5 \hfill \cr
x < 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < 1 \cr} \)
Với x ≥ 1,5 hoặc x < 1 ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{2x – 3} \over {x – 1}}} = 2 \Leftrightarrow {{2x – 3} \over {x – 1}} = 4 \cr
& \Leftrightarrow 2x – 3 = 4(x – 1) \cr} \)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 2x – 3 = 4x – 4 \cr
& \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = 0,5 \cr} \)
Giá trị x = 0,5 thỏa mãn điều kiện x < 1.
b) Ta có: \({{\sqrt {2x – 3} } \over {\sqrt {x – 1} }}\) xác định khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
2x – 3 \ge 0 \hfill \cr
x – 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x \ge 3 \hfill \cr
x > 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1,5 \hfill \cr
x > 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 1,5 \cr} \)
Với x ≥ 1,5 ta có:
\(\eqalign{
& {{\sqrt {2x – 3} } \over {\sqrt {x – 1} }} = 2 \Leftrightarrow {{2x – 3} \over {x – 1}} = 4 \cr
& \Leftrightarrow 2x – 3 = 4(x – 1) \cr} \)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 2x – 3 = 4x – 4 \cr
& \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = 0,5 \cr} \)
Giá trị x = 0,5 không thỏa mãn điều kiện.
Vậy không có giá trị nào của x để \({{\sqrt {2x – 3} } \over {\sqrt {x – 1} }} = 2\)
c) Ta có: \(\sqrt {{{4x + 3} \over {x + 1}}} \) xác định khi và chỉ khi \({{4x + 3} \over {x + 1}} \ge 0\)
Trường hợp 1:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
4x + 3 \ge 0 \hfill \cr
x + 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
4x \ge – 3 \hfill \cr
x > – 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – 0,75 \hfill \cr
x > – 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge – 0,75 \cr} \)
Trường hợp 2:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
4x + 3 \le 0 \hfill \cr
x + 1 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
4x \le – 3 \hfill \cr
x < – 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – 0,75 \hfill \cr
x < – 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < – 1 \cr} \)
Với x ≥ -0,75 hoặc x < -1 ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{4x + 3} \over {x + 1}}} = 3 \Leftrightarrow {{4x + 3} \over {x + 1}} = 9 \cr
& \Leftrightarrow 4x + 3 = 9(x + 1) \cr} \)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 4x + 3 = 9x + 9 \cr
& \Leftrightarrow 5x = – 6 \Leftrightarrow x = – 1,2 \cr} \)
Giá trị x = -1,2 thỏa mãn điều kiện x < -1.
d) Ta có : \({{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }}\) xác định khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
4x + 3 \ge 0 \hfill \cr
x + 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
4x \ge – 3 \hfill \cr
x > – 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – 0,75 \hfill \cr
x > – 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge – 0,75 \cr} \)
Với x ≥ -0,75 ta có:
\(\eqalign{
& {{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }} = 3 \Leftrightarrow {{4x + 3} \over {x + 1}} = 9 \cr
& \Leftrightarrow 4x + 3 = 9(x + 1) \cr} \)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 4x + 3 = 9x + 9 \cr
& \Leftrightarrow 5x = – 6 \Leftrightarrow x = – 1,2 \cr} \)
Vậy không có giá trị nào của x để \({{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }} = 3.\)
Câu 44 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho hai số a, b không âm. Chứng minh:
\({{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \)
(Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm).
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Gợi ý làm bài
Vì a ≥ 0 nên \(\sqrt a \) xác định, b ≥ 0 nên \(\sqrt b \) xác định
Ta có:
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow a – 2\sqrt {ab} + b \ge 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \)
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b.
Câu 45 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Với a ≥ 0, b ≥ 0, chứng minh
\(\sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge {{\sqrt a + \sqrt b } \over 2}\)
Gợi ý làm bài
Vì a ≥ 0 nên \(\sqrt a \) xác định, b ≥ 0 nên \(\sqrt b \) xác định
Ta có:
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow a – 2\sqrt {ab} + b \ge 0 \ge a + b \ge 2\sqrt {ab} \cr} \)
\( \Leftrightarrow a + b + a + b \ge a + b + 2\sqrt {ab} \)
\( \Leftrightarrow 2(a + b) \ge {\left( {\sqrt a } \right)^2} + 2\sqrt {ab} + {\left( {\sqrt b } \right)^2}\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 2(a + b) \ge {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2}} \over 4} \cr} \)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge \sqrt {{{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2}} \over 4}} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge {{\sqrt a + \sqrt b } \over 2} \cr} \)
Câu 46 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Với a dương, chứng minh:
\(a + {1 \over a} \ge 2.\)
Gợi ý làm bài
Với a dương, ta có:
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt a – {1 \over {\sqrt a }}} \right)^2} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow a – 2\sqrt a .{1 \over {\sqrt a }} + {1 \over a} \ge 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow a – 2 + {1 \over a} \ge 0 \Leftrightarrow a + {1 \over a} \ge 2\)
Câu 4.1 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1
Giá trị của \(\sqrt {{{49} \over {0,09}}} \) bằng
(A) ;
(B) ;
(C) ;
(D) .
Hãy chọn đáp án đúng.
Gợi ý làm bài
Chọn (B).
Trả lời