Câu 4.38 trang 140 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số, tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} {{{x^2} + 5x + 4} \over {{x^2} + 3x + 2}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x + 1} \over {{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {3 \over {2x + 1}}\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {{x^2} + x – 1} \right).\)
Giải
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} {{{x^2} + 5x + 4} \over {{x^2} + 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} {{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} \)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} {{x + 4} \over {x + 2}} = {{ – 1 + 4} \over { – 1 + 2}} = 3\)
b) \( + \infty \) ;
c) 0;
d) \( + \infty \)
Câu 4.39 trang 140 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Chứng minh rằng các giới hạn sau không tồn tại
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin 2x\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos 3x\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over {2x}}\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin {2 \over x}.\)
Hướng dẫn. a) Lấy hai dãy số \(({x_n})\) và \((x{‘_n})\) với \({x_n} = n\pi ,x{‘_n} = n\pi + {\pi \over 4}.\)
Tìm \(\lim {x_n},\lim x{‘_n},\lim f({x_n}),\lim f(x{‘_n}).\)
c) Chọn dãy số \(({x_n})\) sao cho \({1 \over {2{x_n}}} = n\pi \,hay\,{x_n} = {1 \over {2n\pi }}\) Tìm \(\lim {x_n}\) và \(\lim f({x_n}).\)
Giải
a) Lấy hai dãy số \(({x_n})\) và \((x{‘_n})\)
\({x_n} = n\pi ,x{‘_n} = n\pi + {\pi \over 4}\) (như trong hướng dẫn).
Khi đó \(\lim {x_n} = + \infty \) và \(\lim x{‘_n} = + \infty \);
\(\lim f({x_n}) = limsin2{x_n} = \lim \sin 2n\pi = 0\) và
\(\lim f(x{‘_n}) = limsin2x{‘_n} = \lim \sin \left( {2n\pi + {\pi \over 2}} \right) = 1.\)
Vì \(\lim f\left( {{x_n}} \right) \ne \lim f\left( {x{‘_n}} \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin 2x.\)
Cách giải khác. Lấy dãy số \(({x_n})\) với
\({x_n} = {{n\pi } \over 2} + {\pi \over 4},\)
Ta có \(\lim {x_n} = + \infty \) và
\(f\left( {{x_n}} \right) = \sin 2{x_n} = \sin \left( {n\pi + {\pi \over 2}} \right) = \left\{ \matrix{
1\text{ với n chẵn} \hfill \cr
– 1\text{ với n lẻ} \hfill \cr} \right.\)
Dãy số \(\left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right) = \left( {\sin 2{x_n}} \right)\) không có giới hạn. Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin 2x.\)
b) Làm tương tự như câu a) không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos 3x\)
c) Chọn dãy \(({x_n})\) sao cho
\({1 \over {2{x_n}}} = n\pi \Leftrightarrow {x_n} = {1 \over {2n\pi }}.\)
Khi đó \(\lim {x_n} = 0\) và
\(f\left( {{x_n}} \right) = \cos {1 \over {2{x_n}}} = \cos n\pi = \left\{ \matrix{
1\text{ với n chẵn}\hfill \cr
– 1\text{ với n lẻ} \hfill \cr} \right.\)
Dãy số \(\left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right) = \left( {\cos {1 \over {2{x_n}}}} \right)\) không có giới hạn. Do đó không tồn tại
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over {2x}}\);
d) Tương tự câu c, không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin {2 \over x}.\)
Câu 4.40 trang 140 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Chứng minh rằng nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left| {f\left( x \right)} \right| = 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 0\).
Giải
Giả sử hàm số \(f\) xác định trên một khoảng \(I\) chứa điểm \({x_0}\) và \(({x_n})\) là một dãy số trong tập hợp \(I\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) sao cho \(\lim {x_n} = {x_0}.\) Khi đó vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left| {f\left( x \right)} \right| = 0\) nên \(\lim \left| {f\left( {{x_n}} \right)} \right| = 0.\)Từ đó suy ra \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = 0.\) Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 0\).
Câu 4.44 trang 141 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Tìm các giới hạn sau
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\left( {3 – 4x} \right)^2}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} {{{x^2} + x + 1} \over {2{x^5} + 3}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{{x^2}\left( {2x – 1} \right)} \over {{x^4} + x + 1}}\) d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \root 3 \of {{{{x^2} – x + 1} \over {{x^2} + 2x}}} \)
e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {{{9{x^2} – x} \over {\left( {2x – 1} \right)\left( {{x^4} – 3} \right)}}} \) f) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 – {1 \over x}} \over {1 + {1 \over x}}}\)
g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left| {{{ – {x^2} – x + 6} \over {{x^2} + 3x}}} \right|\) h) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} {{{{\left( {{x^2} – x + 6} \right)}^2}} \over {{x^3} + 2{x^2}}}\)
Giải
a) 81;
b) 1;
c) \({1 \over 3};\)
d) \({{\root 3 \of 3 } \over 2};\)
e) \({{\sqrt 5 } \over 5};\)
f) Với mọi \(x \ne 0,\) ta có
\({{1 – {1 \over x}} \over {1 + {1 \over x}}} = {{x – 1} \over {x + 1}}\)
Do đó
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 – {1 \over x}} \over {1 + {1 \over x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{x – 1} \over {x + 1}} = – 1;\)
g) \({{ – {x^2} – x + 6} \over {{x^2} + 3x}} = {{2 – x} \over x}\) với mọi \(x \ne -3\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 3} {{ – {x^2} – x + 6} \over {{x^2} + 3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 3} {{2 – x} \over x} = -{5 \over 3}.\) Do đó
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 3} \left| {{{ – {x^2} – x + 6} \over {{x^2} + 3x}}} \right| = \left| { – {5 \over 3}} \right| = {5 \over 3}.\)
h) \({{{{\left( {{x^2} – x – 6} \right)}^2}} \over {{x^3} + 2{x^2}}} = {{{{\left( {x – 3} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)} \over {{x^2}}}\) với mọi \(x \ne 2\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} {{{{\left( {{x^2} – x – 6} \right)}^2}} \over {{x^3} + 2{x^2}}} = 0\)
Câu 4.45 trang 141 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Tìm các giới hạn sau
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } {{2x – 3} \over {1 – 3x}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty } {{2{x^3} – 7{x^2} + 11} \over {3{x^6} + 2{x^5} – 5}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } x\sqrt {{{2x + 1} \over {3{x^3} + {x^2} + 2}}} \) d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{2x + 3} \over {\sqrt {2{x^2} – 3} }}\)
Giải
a) \( – {2 \over 3}\) ;
b) 0;
c) \(x\root \of {{{2x + 1} \over {3{x^3} + {x^2} + 2}}} = \sqrt {{{{x^2}\left( {2x + 1} \right)} \over {3{x^3} + {x^2} + 2}}} \) với mọi \(x > 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }x \root \of {{{2x + 1} \over {3{x^3} + {x^2} + 2}}} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^2}\left( {2x + 1} \right)} \over {3{x^3} + {x^2} + 2}}} = \sqrt {{2 \over 3}} = {{\sqrt 6 } \over 3}\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{2x + 3} \over {\sqrt {2{x^2} – 3} }}= \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{2x + 3} \over {|x|\sqrt {2 – {3 \over {{x^2}}}} }} \)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{2x + 3} \over { – x.\sqrt {2 – {3 \over {{x^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{2 + {3 \over x}} \over { – \sqrt {2 – {3 \over {{x^2}}}} }} = – \sqrt 2 \)
Trả lời