Câu 5.19 trang 182 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Tìm các giới hạn sau
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\tan 3x} \over {\tan 5x}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\cos 2x – 1} \over {{{\sin }^2}3x}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\tan x – \sin x} \over {{x^3}}}\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi \over 2}} \left( {{\pi \over 2} – x} \right)\tan x\)
Giải
a) \({3 \over 5};\)
b) \( – {2 \over 9};\)
c) \({1 \over 2};\)
\( \bullet \) Cách 1
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi \over 2}} \left( {{\pi \over 2} – x} \right)\tan x = \mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi \over 2}} \left( {{\pi \over 2} – x} \right)\cot \left( {{\pi \over 2} – x} \right) \cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi \over 2}} {{\left( {{\pi \over 2} – x} \right)} \over {\sin \left( {{\pi \over 2} – x} \right)}}.\cos \left( {{\pi \over 2} – x} \right) = 1 \cr} \)
(Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi \over 2}} {{{\pi \over 2} – x} \over {\sin \left( {{\pi \over 2} – x} \right)}} = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi \over 2}} \cos \left( {{\pi \over 2} – x} \right) = \cos 0 = 1\) )
\( \bullet \) Cách 2. Đặt \({\pi \over 2} – x = t\) thì khi \(x \to {\pi \over 2}\) ta sẽ có \(t \to 0.\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi \over 2}} \left( {{\pi \over 2} – x} \right)\tan x = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} t\tan \left( {{\pi \over 2} – t} \right)\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} t\cot t = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {t \over {\sin t}}.\cot t = 1.\)
Câu 5.20 trang 182 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) \(y = {x \over {\sin x + \cos x}}\)
b) \(y = {{\tan t} \over t}\)
c) \(y = {{t\sin t} \over {1 + \tan t}}\)
d) \(y = \cos x – {1 \over 3}{\cos ^3}x\)
e) \(y = \cot \sqrt {{x^2} – x + 1} \)
g) \(y = \sin \left( {2\sin x} \right)\)
h) \(y = {\cos ^3}4x\)
i) \(y = {\sin ^2}\left( {\cos 3x} \right)\)
Giải
a) \({{\sin x + \cos x + x\left( {\sin x – \cos x} \right)} \over {1 + \sin 2x}}\)
b) \({{t – \sin t\cos t} \over {{t^2}{{\cos }^2}t}}\)
c) \({{\left( {1 + \tan t} \right)(\sin t + t\cos t) – {1 \over {{{\cos }^2}t}}\left( {t\sin t} \right)} \over {{{\left( {1 + \tan t} \right)}^2}}}\)
d) \( – {\sin ^3}x\)
e) \({{1 – 2x} \over {2\sqrt {{x^2} – x + 1} .{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} – x + 1} }}\)
g) \(2\cos x\cos \left( {2\sin x} \right)\)
h) \( – 6\cos 4x.\sin 8x\)
i) \( – 3\sin 3x\sin \left( {2\cos 3x} \right).\)
Câu 5.21 trang 182 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Tính \(f’\left( {{\pi \over 6}} \right)\) và \(f’\left( {{\pi \over 3}} \right)\) ( nếu có) biết
\(f\left( x \right) = {{\cos x} \over {\sqrt {\cos 2x} }}\)
Giải
Để hàm số có đạo hàm thì ta phải có \(\cos 2x > 0.\) Với điều kiện đó thì
\( f’\left( x \right) = {{ – \sin x\sqrt {\cos 2x} – \cos x.{1 \over {2\sqrt {\cos 2x} }}\left( { – 2\sin 2x} \right)} \over {\cos 2x}} \)
\(= {{ – \sin x\cos 2x + \cos x\sin 2x} \over {\cos 2x\sqrt {\cos 2x} }} = {{\sin x} \over {\sqrt {{{\cos }^3}2x} }} \)
\( \bullet \) Khi \(x = {\pi \over 3}\) thì \(\cos 2x = \cos {{2\pi } \over 3} \( \bullet \) Khi \(x = {\pi \over 6}\) thì \(\cos 2x = \cos {\pi \over 3} > 0\) , nên không tồn tại \(f’\left( {{\pi \over 6}} \right)\) và
\(f’\left( {{\pi \over 6}} \right) = {{\sin {\pi \over 6}} \over {\sqrt {{{\cos }^3}{\pi \over 3}} }} = {{{1 \over 2}} \over {\sqrt {{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^3}} }} = \sqrt 2 .\)
Câu 5.22 trang 182 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Cho hai hàm số
\(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\) và \(g\left( x \right) = {1 \over 4}\cos 4x\)
Chứng minh rằng
\(f’\left( x \right) = g’\left( x \right)\,\,\,\left( {\forall x \in R} \right)\)
Giải
Cách 1. Với mọi \(x \in R\), ta có
\(\eqalign{ f’\left( x \right)& = 4{\sin ^3}x\cos x + 4{\cos ^3}x\left( { – \sin x} \right) \cr&= 4\sin x\cos x({\sin ^2}x – {\cos ^2}x) \cr& = 2\sin 2x\left( { – \cos 2x} \right) = – \sin 4x. \cr} \)
Mặt khác ta có
\(g’\left( x \right) = {1 \over 4}\left( { – 4\sin 4x} \right) = – \sin 4x.\)
Vậy với mọi \(x \in R\), ta có
\(f’\left( x \right) = g’\left( x \right).\)
Cách 2. Ta chứng minh rằng \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) khác nhau một hằng số ; vì hai hàm số khác nhau một hằng số thì rõ ràng đạo hàm của chúng bằng nhau (nếu chúng có đạo hàm) . Thật vậy, ta có
\(\eqalign{{\sin ^4}x + {\cos ^4}x &= {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr& = 1 – {1 \over 2}{\sin ^2}2x\cr& = 1 – {1 \over 2}.{{1 – \cos 4x} \over 2} \cr&= {3 \over 4} + {1 \over 4}\cos 4x \cr} \)
Tức là \(f\left( x \right) = {3 \over 4} = g\left( x\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\forall x \in R} \right).\)
Vậy \(f’\left( x \right) = g’\left( x \right).\)
Câu 5.24 trang 183 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Chứng minh rằng hàm số sau đây có đạo hàm bằng 0 với mọi \(x \in R\)
\(y = {\cos ^2}\left( {{\pi \over 3} – x} \right) + {\cos ^2}\left( {{\pi \over 3} + x} \right) \)
\(+ {\cos ^2}\left( {{{2\pi } \over 3} – x} \right) + {\cos ^2}\left( {{{2\pi } \over 3} + x} \right) – 2{\sin ^2}x\)
Giải
Cách 1: Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số hợp
\(\left( {{{\cos }^2}u} \right)’ = 2\cos u\left( { – \sin u} \right).u’ = – u’.\sin 2u\)
Ta được
\(\eqalign{& y’ = \left[ {\sin \left( {{{2\pi } \over 3} – 2x} \right) – \sin \left( {{{2\pi } \over 3} + 2x} \right)} \right]\cr& + \left[ {\sin \left( {{{4\pi } \over 3} – 2x} \right) – \sin \left( {{{4\pi } \over 3} + 2x} \right)} \right] – 2\sin 2x \cr& \,\,\,\,\,\, = 2\cos {{2\pi } \over 3}.\sin \left( { – 2x} \right) + 2\cos {{4\pi } \over 3}.\sin \left( { – 2x} \right) \cr&- 2\sin 2x\,\,\left( {\forall x \in R} \right) \cr} \)
Vì \(\cos {{2\pi } \over 3} = \cos {{4\pi } \over 2} = – {1 \over 2}\) nên
\(y’ = \sin 2x + \sin 2x – 2\sin 2x = 0\)
Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc
\({\cos ^2}u = {{1 + \cos 2u} \over 2}\)
Ta chứng minh được \(y = 1\). Vậy \(y’ = 0\)
Câu 5.25 trang 183 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Giải phương trình \(f’\left( x \right) = 0\) biết
a) \(f\left( x \right) = \sqrt 3 \cos x + \sin x – 2x – 5\)
b) \(f\left( x \right) = {{2\cos 17x} \over {17}} – {{\sqrt 3 \sin 5x} \over 5} + {{\cos 5x} \over 5} + 2\)
Giải
a) Với mọi \(x \in R\) ta có
\(\eqalign{& f’\left( x \right) = – \sqrt 3 \sin x + \cos x – 2 \cr& f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {1 \over 2}\cos x – {{\sqrt 3 } \over 2}\sin x = 1\cr& \Leftrightarrow \cos x.\cos {\pi \over 3} – \sin x.\sin {\pi \over 3} = 1 \cr& \Leftrightarrow \cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) = 1 \Leftrightarrow x + {\pi \over 3} = k2\pi \cr&\Leftrightarrow x = – {\pi \over 3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)
b) Với mọi \(x \in R\) ta có
\(\eqalign{& f’\left( x \right) = – 2\sin 17x – \sqrt 3 \cos 5x – \sin 5x \cr& f’\left( x \right) = 0\cr& \Leftrightarrow \sin 17x + \left( {{{\sqrt 3 } \over 2}\cos 5x + {1 \over 2}\sin 5x} \right) = 0 \cr& \Leftrightarrow \sin 17x + \left( {\sin {\pi \over 3}\cos 5x + \cos {\pi \over 3}\sin 5x} \right) = 0 \cr& \Leftrightarrow \sin \left( {5x + {\pi \over 3}} \right) = \sin \left( { – 17x} \right) \cr} \)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{5x + {\pi \over 3} = – 17x + k2\pi \hfill \cr5x + {\pi \over 3} = \pi + 17x + k2\pi \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = – {\pi \over {66}} + {{k\pi } \over {11}} \hfill \cr x = – {\pi \over {18}} – {{k\pi } \over 6} \hfill \cr} \right.\)
Câu 5.26 trang 183 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Tìm a để phương trình \(f’\left( x \right) = 0\) có nghiệm, biết rằng
\(f\left( x \right) = a\cos x + 2\sin x – 3x + 1\)
Giải
Với mọi \(x \in R\) ta có
\(f’\left( x \right) = a\sin x + 2\cos x – 3.\)
Để \(f’\left( x \right) = 0\) có nghiệm thì ta phải tìm a sao cho phương trình \(2\cos x – a\sin x = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) có nghiệm. Ta có
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {2 \over {\sqrt {{a^2} + 4} }}\cos x – {a \over {\sqrt {{a^2} + 4} }}\sin x = {3 \over {\sqrt {{a^2} + 4} }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Vì \({\left( {{2 \over {\sqrt {{a^2} + 4} }}} \right)^2} + {\left( {{a \over {\sqrt {{a^2} + 4} }}} \right)^2} = 1\) nên có số \(\alpha \) sao cho\(\left\{ \matrix{\cos \alpha = {2 \over {\sqrt {{a^2} + 4} }} \hfill \cr\sin \alpha = {a \over {\sqrt {{a^2} + 4} }} \hfill \cr} \right.\)
Thế vào (2), ta được : \(\cos x\cos \alpha – \sin x\sin \alpha = {3 \over {\sqrt {{a^2} + 4} }}\)
\( \Leftrightarrow \cos \left( {x + \alpha } \right) = {3 \over {\sqrt {{a^2} + 4} \,}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)
Phương trình (3) có nghiệm khi và chỉ khi
\( – 1 \le {3 \over {\sqrt {{a^2} + 4} }} \le 1 \Leftrightarrow 3 \le \sqrt {{a^2} + 4} \Leftrightarrow {a^2} + 4 \ge 9 \)
\(\Leftrightarrow {a^2} \ge 5 \Leftrightarrow \left| a \right| \ge \sqrt {5} \)
Câu 5.27 trang 183 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Giải và biện luận phương trình \(f’\left( x \right) = 0\) biết rằng
\(f\left( x \right) = 2\sin x + 2\left( {1 – 2m} \right)\cos x – 2mx\)
Giải
Với mọi \(x \in R\), ta có
\(\eqalign{& f’\left( x \right) = 2\cos 2x – 2\left( {1 – 2m} \right)\sin x – 2m \cr& f’\left( x \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow \left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right) – \left( {1 – 2m} \right)\sin x – m = 0 \cr& \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + \left( {1 – 2m} \right)\sin x + m-1=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr} \)
Ta có \(\Delta = {\left( {1 – 2m} \right)^2} – 8m + 8 \)
\(= 4{m^2} – 12m + 9 = {\left( {2m – 3} \right)^2}\)
Vậy
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \matrix{\sin x = {{\left( {2m – 1} \right) – \left( {2m – 3} \right)} \over 4} = {1 \over 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr\sin x = {{\left( {2m – 1} \right) + \left( {2m – 3} \right)} \over 4} = m – 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \hfill \cr} \right.\)
Giải (2), ta được
\(\sin x = {1 \over 2} = \sin {\pi \over 6} \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi . \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\)
\( \bullet \) Giải (3), với điều kiện \( – 1 \le m – 1 \le 1\,\,\,hay\,\,0 \le m \le 2,\) ta được
\(\sin x = m – 1 = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = \alpha + k2\pi \hfill \cr x = \pi – \alpha + k2\pi \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,(5)\)
Kết luận
a) Nếu \(m 2\) thì phương trình \(f’\left( x \right) = 0\) có các nghiệm là (4)
b) Nếu \(0 \le m \le 2\) thì phương trình \(f’\left( x \right) = 0\) có các nghiệm là (4) và (5).
Trả lời