Bài 3; 4: Lôgarit, lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên – Giải SBT chương 2 Giải tích 12 nâng cao
Bài 2.33 Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng, đẳng thức nào sai ?
a) \({\log _\pi }1 = 0\) b) \({\log _3}{1 \over {81}} = 4\)
c) \({\log _4}16 = 2\) d) \({\log _5}{1 \over {{{125}^{ – 1}}}} = – 3\)
e) \({\log _{{1 \over 3}}}9 = 2\) g) \({\log _{0,5}}4 = – 2\)
Giải
a) Đúng b) Sai c) Đúng
d) Sai e) Sai g) Đúng
—————————————————-
Bài 2.34 Hãy tính
a) \({\log _{\sqrt 2 }}8\) b) \({\log _{\sqrt {{1 \over 3}} }}27\)
c) \({\log _{2\sqrt 2 }}128\) d) \({\log _{\sqrt 5 }}0,2\)
Giải
a) \({\log _{\sqrt 2 }}8 = {\log _{\sqrt 2 }}{\left( {\sqrt 2 } \right)^6} = 6\)
b) \({\log _{\sqrt {{1 \over 3}} }}27 = {\log _{{3^{{{ – 1} \over 2}}}}}27 = – 2{\log _3}{3^3} = – 2.3 = – 6\)
c) \({\log _{2\sqrt 2 }}128 = {\log _{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3}}}128 = {\log _{{2^{{3 \over 2}}}}}128\)
\(= {2 \over 3}{\log _2}{2^7} = {2 \over 3}.7 = {{14} \over 3}\)
d) \({\log _{\sqrt 5 }}0,2 = {\log _{{5^{{1 \over 2}}}}}{1 \over 5} = 2{\log _5}{5^{ – 1}} = 2.\left( { – 1} \right) = – 2\)
——————————————————
Bài 2.35 Hãy tìm lôgarit của các số sau theo cơ số a:
a) \(25;{1 \over 5};\sqrt 5 \) với \(a = 5\)
b) \(64;{1 \over 8};2\) với \(a = 8\)
c) \(16;{1 \over 4};\sqrt 2 \) với \(a = 2\)
d) \(27;{1 \over 9};\sqrt 3 \) với \(a = 3\)
Giải
a) \(2; – 1;{1 \over 2}\) b) \(2; – 1;{1 \over 3}\)
c) \(4; – 2;{1 \over 2}\) d) \(3; – 2;{1 \over 2}\)
——————————————————–
Bài 2.36 Với giá trị nào nào của x thì mỗi biểu thức sau đây xác định ?
a) \({\log _{0,2}}\left( {7 – x} \right)\)
b) \({\log _6}{1 \over {1 – 2x}}\)
c) \({\log _{{1 \over 4}}}\left( { – {x^2}} \right)\)
d) \({\log _{0,7}}\left( { – 2{x^3}} \right)\)
Giải
a) \(7 – x > 0 \Leftrightarrow x < 7\)
b) \({1 \over {1 – 2x}} > 0 \Leftrightarrow 1 – 2x > 0 \Leftrightarrow x < {1 \over 2}\)
c) \( – {x^2} \le 0\,\forall x \in\mathbb R\)
Do đó không tồn tại giá trị nào của x
d) \( – 2{x^3} > 0 \Leftrightarrow x < 0\)
——————————————————-
Bài 2.38 Hãy tìm lôgarit của các số sau theo cơ số a:
a) \(2;{1 \over 2};1;0\) với \(a = 4\)
b) \(3; – 1; – 3;1\) với \(a = 3\)
c) \(3;{1 \over 2};0; – 1\) với \(a = 2\)
d) \(1; – 2;0;3\) với \(a = 5\)
Giải
a) \({\log _4}16;{\log _4}2;{\log _4}4;{\log _4}1\)
b) \({\log _3}27;{\log _3}{1 \over 3};{\log _3}{1 \over {27}};{\log _3}3\)
c) \({\log _2}8;{\log _2}\sqrt 2 ;{\log _2}1;{\log _2}{1 \over 2}\)
d) \({\log _5}5;{\log _5}{1 \over {25}};{\log _5}1;{\log _5}125\)
Hướng dẫn: \(b = {\log _a}{a^b}\)
————————————————–
Bài 2.39 Hãy sử dụng tính chất của lôgarit để đơn giản biểu thức
a) \(2,{3^{{{\log }_{2,3}}2}}\) b) \({\pi ^{{{\log }_\pi }5}}\)
c) \({2^{{{\log }_2}5}}\) d) \(3,{8^{{{\log }_{3,8}}11}}\)
e) \({5^{1 + {{\log }_5}3}}\) g) \({10^{1 – \log 2}}\)
h) \({\left( {{1 \over 7}} \right)^{1 + {{\log }_{{1 \over 7}}}2}}\)
i) \({3}^{2-{{\log }_3}18;}\) k) \({4}^{2{{\log }_4}3}\)
l) \({5}^{3\log _5{1 \over 2}};\)
m) \({\left( {{1 \over 2}} \right)}^{4{{\log }_{{1 \over 2}}}3};\)
n) \({6}^{2{{\log }_6}5.}\)
Giải
Sử dụng công thức \({a^{{{\log }_a}b}} = b\)
a) 2 b) 5 c) 5 d) 11
e) 15 g) 5 h) \({2 \over 7}\) i) \({1 \over 2}\)
k) 9 l)\({1 \over 8}\) m) 81 n) 25
————————————————–
Bài 2.48 Hãy chứng minh
a)\({\log _{{1 \over 2}}}3 + {\log _3}{1 \over 2} < – 2;\)
b)\({4^{{{\log }_5}7}} = {7^{{{\log }_5}4}};\)
c) \({\log _3}7 + {\log _7}3 > 2;\)
d) \({3^{{{\log }_2}5}} = {5^{{{\log }_2}3}}.\)
Giải
a) Ta có \({\log _{{1 \over 2}}}3 = {1 \over {{{\log }_3}{1 \over 2}}}\)và\({1 \over {\left| {{{\log }_3}{1 \over 2}} \right|}} + \left| {{{\log }_3}{1 \over 2}} \right| > 2\)
( theo công thức đổi cơ số của lôgarit,bất đẳng thức Cô- si và \({1 \over {\left| {{{\log }_3}{1 \over 2}} \right|}} \ne \left| {{{\log }_3}{1 \over 2}} \right|)\)
Mặt khác, \({\log _3}{1 \over 2} < 0\) nên \( – {1 \over {{{\log }_3}{1 \over 2}}} – {\log _3}{1 \over 2} > 2\), hay \({\log _{{1 \over 2}}}3 + {\log _3}{1 \over 2} < – 2\)
b) \({4^{{{\log }_5}7}} = {7^{{{\log }_5}4}} \Leftrightarrow {\log _4}{4^{{{\log }_5}7}} = {\log _4}{7^{{{\log }_5}4}} \)
\(\Leftrightarrow {\log _5}7 = {\log _5}4.{\log _4}7\).
Đẳng thức cuối cùng đúng suy ra đẳng thức đầu tiên đúng .
c) Ta có \({\log _3}7 > 0\),\({\log _7}3 > 0\) và \({\log _3}7 = {1 \over {{{\log }_7}3}} \ne {\log _7}3\).
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có
\({1 \over {{{\log }_7}3}} + {\log _7}3 > 2\),suy ra \({\log _3}7 + {\log _7}3 > 2\).
d) \({3^{{{\log }_2}5}} = {5^{{{\log }_2}3}} \Leftrightarrow {\log _3}{3^{{{\log }_2}5}} = {\log _3}{5^{{{\log }_2}3}}\)
\(\Leftrightarrow {\log _2}5 = {\log _2}3.{\log _3}5\).
Đẳng thức cuối cùng đúng suy ra đẳng thức đầu tiên đúng .
———————————————
Bài 2.50
a) Biết \({\log _7}12 = a\) , \({\log _{12}}24 = b\). Tính \({\log _{54}}168\) theo a và b.
b) Biết \({\log _6}15 = a\),\({\log _{12}}18 = b\).Tính \({\log _{25}}24\) theo a và b.
Giải
a) \({\log _{54}}168 = {{{{\log }_7}168} \over {{{\log }_7}54}} = {{{{\log }_7}\left( {3.7.8} \right)} \over {{{\log }_7}\left( {{{2.3}^3}} \right)}} = {{{{\log }_7}3 + 1 + 3{{\log }_7}2} \over {{{\log }_7}2 + 3{{\log }_7}3}}\)
Như vậy, để tính được \({\log _{54}}168\) qua a, b,c ta cần tính được \({\log _7}3\),\({\log _7}2\) qua a, b .
Từ giả thiết \(a = {\log _7}12\) , \(b = {\log _{12}}24\), ta tính được \({\log _7}2\),\({\log _7}3\) từ hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{ 2{\log _7}2 + {\log _7}3 = a \hfill \cr 3{\log _7}2 + {\log _7}3 = ab \hfill \cr} \right.\)
b) \({\log _{25}}24 = {1 \over 2}{\log _5}24 = {3 \over 2}{\log _5}2 + {1 \over 2}{\log _5}3\)
Ta cần tính \({\log _5}2\) và \({\log _5}3\) theo \(a = {\log _6}15\) và \(b = {\log _{12}}18\)
Ta có \(a = {\log _6}15 = {{{{\log }_5}15} \over {{{\log }_5}6}} = {{1 + {{\log }_5}3} \over {{{\log }_5}2 + {{\log }_5}3}}\) (1)
Ta có \(b = {\log _{12}}18 = {{{{\log }_5}18} \over {{{\log }_5}12}} = {{{{\log }_5}2 + 2{{\log }_5}3} \over {2{{\log }_5}2 + {{\log }_5}3}}\) (2)
Từ (1) và (2), ta tính được \({\log _5}2\) và \({\log _5}3\) theo a và b .
————————————————-
Nài 2.51 Đơn giản biểu thức sau rồi tính giá trị khi \(x = – 2.\)
\({\log _4}{{{x^2}} \over 4} – 2{\log _4}(4{x^4}).\)
Giải
\(\eqalign{ & A = {\log _4}{{{x^2}} \over 4} – 2{\log _4}(4{x^4}) \cr&= 2lo{g_4}\left| x \right| – 1 – 2\left( {1 + 4{{\log }_4}\left| x \right|} \right) \cr& = – 3 – 6{\log _4}\left| x \right|= – 3 – 3{\log _2}\left| x \right| \cr} \)
Khi \(x = – 2\) thì \(A = – 3 – 3{\log _2}2 = – 6\)
—————————————————
Bài 2.53 Cho hai số dương a và b .Chứng minh rằng
a)\({a^{\log b}} = {b^{\log a}};\) b) \({a^{lnb}} = {b^{\ln a}}.\)
Giải
a) \({a^{\log b}} = {b^{\log a}} \Leftrightarrow \log {a^{\log b}} = \log {b^{\log a}}\)
\( \Leftrightarrow {\mathop{\rm logb}\nolimits} .{\mathop{\rm loga}\nolimits} = {\mathop{\rm loga}\nolimits} .{\mathop{\rm logb}\nolimits} \)
Đẳng thức cuối cùng đúng suy ra đẳng thức đầu cũng đúng.
b)
\({a^{\ln b}} = {b^{\ln a}} \Leftrightarrow \ln {a^{\ln b}} = \ln {b^{\ln a}}\)
\( \Leftrightarrow {\mathop{\rm lnb}\nolimits} .{\mathop{\rm ln a}\nolimits} = {\mathop{\rm lna}\nolimits} .{\mathop{\rm lnb}\nolimits} \)
Đẳng thức cuối cùng đúng suy ra đẳng thức đầu cũng đúng.
——————————————————
Bài 2.58
a) Biết \(\log 3 \approx 0,4771\) , tính \({\log _{81}}90\) (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).
b) Biết \(\log 2 \approx 0,3010\);\(\ln 10 \approx 2,3026\) . Tính \(\ln 2\) (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).
Giải
a) \({\log _{81}}90 = {{\log 90} \over {\log 81}} = {{1 + 2\log 3} \over {4\log 3}} \approx {{1 + 2.0,4771} \over {4.0,4771}} \approx 1,024\)
b) \(\ln 2 = \ln 10.\ln 2 \approx 2,3026.0,3010 \approx 0,693\)
———————————————
Bài 2.60
Năm 1992, người ta đã biết số \(p = {2^{756839}} – 1\) là một số nguyên tố ( số nguyên tố lớn nhất được biết cho đến lúc đó).Hỏi rằng, viết trong hệ thập phân, số nguyên tố đó có bao nhiêu chữ số? ( Biết rằng \({\log 2} \approx 0,30102\) )
Giải
\(p + 1 = {2^{756839}} \)
\(\Rightarrow \log \left( {p + 1} \right) = 756839.\log 2 \approx 227823,68\)
\( \Rightarrow p + 1 \approx {10^{227823,68}}\)
\(\Rightarrow {10^{227823,68}} < p + 1 < {10^{227824}}\)
——————————————————–
Bài 2.63 Biết \(\log 3 = p,\log 5 = q\) . Hãy chứng minh
\({\log _{15}}30 = {{1 + p} \over {p + q}}.\)
Giải
\({\log _{15}}30 = 1 + {\log _{15}}2 = 1 + {{\log 2} \over {\log 3 + \log 5}}\)
\(\eqalign{& = {{\log 3 + \log 5 + \log 2} \over {\log 3 + \log 5}} \cr& = {{\log 3 + \log 10} \over {\log 3 + \log 5}} = {{1 + p} \over {p + q}} \cr} \)
—————————————————–
Bài 2.64
Áp suất không khí P ( đo bằng milimet thủy ngân ,kí hiệu là mmHg) giảm mũ so với độ cao x ( đo bằng mét),tức là P giảm theo công thức
\(P = {P_{0.}}.{e^{xi}},\)
Trong đó \({P_0} = 760mmHg\) là áp suất của mức nước biển (x=0), I là hệ số giảm. Biển rằng ở đọ cao 1000m thì áp suất của không khí là 672,71mm. Hỏi áp suất không khí ở độ cao 3000m là bao nhiêu?
Giải
Trước tiên tìm i từ đẳng thức
\(672,71 = 760.{e^{1000.i}}\left( {i \approx – 0,00012} \right)\)
Từ đó \(p = 760.{e^{3000.\left( { – 0,00012} \right)}} \approx 530,23mmHg\)
Trả lời