Bài 3, 4, 5 những hằng đẳng thức đáng nhớ – Sách bài tập Toán 8 tập 1
Câu 11 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Tính:
a. \({\left( {x + 2y} \right)^2}\)
b. \(\left( {x – 3y} \right)\left( {x + 3y} \right)\)
c. \({\left( {5 – x} \right)^2}\)
Giải:
a. \({\left( {x + 2y} \right)^2})\) \(= {x^2} + 4xy + 4{y^2}\)
b. \(\left( {x – 3y} \right)\left( {x + 3y} \right)\) \( = {x^2} – {\left( {3y} \right)^2} = {x^2} – 9{y^2}\)
c. \({\left( {5 – x} \right)^2}\) \( = {5^2} – 10x + {x^2} = 25 – 10x + {x^2}\)
Câu 12 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Tính:
a. \({\left( {x – 1} \right)^2}\)
b. \({\left( {3 – y} \right)^2}\)
c. \({\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2}\)
Giải:
a. \({\left( {x – 1} \right)^2}$$ = {x^2} – 2x + 1\)
b. \({\left( {3 – y} \right)^2}$ $ = 9 – 6y + {y^2}\)
c. \({\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2}$ $ = {x^2} – x + {1 \over 4}\)
Câu 13 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng:
a. \({x^2} + 6x + 9\)
b. \({x^2} + x + {1 \over 4}\)
c. \(2x{y^2} + {x^2}{y^4} + 1\)
Giải:
a. \({x^2} + 6x + 9\)\( = {x^2} + 2.x.3 + {3^2} = {\left( {x + 3} \right)^2}\)
b. \({x^2} + x + {1 \over 4}\) \(= {x^2} + 2.x.{1 \over 2} + {\left( {{1 \over 2}} \right)^2} = {\left( {x + {1 \over 2}} \right)^2}\)
c. \(2x{y^2} + {x^2}{y^4} + 1\)\( = {\left( {x{y^2}} \right)^2} + 2.x{y^2}.1 + {1^2} = {\left( {x{y^2} + 1} \right)^2}\)
Câu 14 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Rút gọn biểu thức:
a. \({\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x – y} \right)^2}\)
b. \(2\left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right) + {\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x – y} \right)^2}\)
c. \({\left( {x – y + z} \right)^2} + {\left( {z – y} \right)^2} + 2\left( {x – y + z} \right)\left( {y – z} \right)\)
Giải:
a. \({\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x – y} \right)^2}\) \( = {x^2} + 2xy + {y^2} + {x^2} – 2xy + {y^2} = 2{x^2} + 2{y^2}\)
b. \(2\left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right) + {\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x – y} \right)^2}\)
\( = {\left[ {\left( {x + y} \right) + \left( {x – y} \right)} \right]^2} = {\left( {2x} \right)^2} = 4{x^2}\)
c. \({\left( {x – y + z} \right)^2} + {\left( {z – y} \right)^2} + 2\left( {x – y + z} \right)\left( {y – z} \right)\)
\(\eqalign{ & = {\left( {x – y + z} \right)^2} + 2\left( {x – y + z} \right)\left( {y – z} \right) + {\left( {y – z} \right)^2} \cr & = {\left[ {\left( {x – y + x} \right) + \left( {y – z} \right)} \right]^2} = {x^2} \cr} \)
Câu 15 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng \({a^2}\) chia cho 5 dư 1.
Giải:
Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4 ⟹a=5k+4 (k∈N)
Ta có: \(\eqalign{ & {a^2} = {\left( {5k + 4} \right)^2} = 25{k^2} + 40k + 16 = 25{k^2} + 40k + 15 + 1 \cr & \cr} \)
\( = 5\left( {5{k^2} + 8k + 3} \right) + 1\)
\( = 5\left( {5{k^2} + 8k + 3} \right) + 1 \vdots 5\) .
Vậy \({a^2} = {\left( {5k + 4} \right)^2}\) chia cho 5 dư 1
Câu 16 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Tính giá trị của các biểu thức sau:
a. \({x^2} – {y^2}\) tại \(x = 87\) và \(y = 13\)
b. \({x^3} – 3{x^2} + 3x – 1\) tại \(x = 101\)
c. \({x^3} + 9{x^2} + 27x + 27\) tại \(x = 97\)
Giải:
a. \({x^2} – {y^2}\)\(= \left( {x + y} \right)\left( {x – y} \right)\) . Thay \(x = 87;y = 13\)
Ta có: \({x^2} – {y^2}\)\( = \left( {x + y} \right)\left( {x – y} \right)\)
\( = \left( {87 + 13} \right)\left( {87 – 13} \right) = 100.74 = 7400\)
b. \({x^3} – 3{x^2} + 3x – 1\) \( = {\left( {x – 1} \right)^3}\)
Thay \(x = 101\)
Ta có: \({\left( {x – 1} \right)^3} = {\left( {101 – 1} \right)^3} = {100^3} = 1000000\)
c. \({x^3} + 9{x^2} + 27x + 27\) \( = {x^3} + 3.{x^2}.3 + 3.x{.3^2} + {3^3} = {\left( {x + 3} \right)^3}\)
Thay \(x = 97\) ta có:
\({\left( {x + 3} \right)^3} = {\left( {97 + 3} \right)^3} = {100^3} = 1000000\)
Câu 17 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Chứng minh rằng:
a. \(\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} – ab + {b^2}} \right) + \left( {a – b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) = 2{a^3}\)
b. \(\left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a – b} \right)}^2} + ab} \right] = \left( {a + b} \right)\left[ {{a^2} – 2ab + {b^2} + ab} \right] = {a^3} + {b^3}\)
c. \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) = {\left( {ac + bd} \right)^2} + {\left( {ad – bc} \right)^2}\)
Giải:
a. Biến đổi vế trái:
\(\eqalign{ & \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} – ab + {b^2}} \right) + \left( {a – b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) \cr & = a{}^3 + {b^3} + {a^3} – {b^3} = 2{a^3} \cr} \)
Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.
b. Biến đổi vế phải:
\(\eqalign{ & \left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a – b} \right)}^2} + ab} \right] = \left( {a + b} \right)\left[ {{a^2} – 2ab + {b^2} + ab} \right] \cr & = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} – ab + {b^2}} \right) = {a^3} + {b^3} \cr} \)
Vế phải bằng vế trái, vậy đẳng thức được chứng minh.
c. Biến đổi vế phải:
\(\eqalign{ & {\left( {ac + bd} \right)^2} + {\left( {ad – bc} \right)^2} = {a^2}{c^2} + 2abcd + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} – 2abcd + {b^2}{c^2} \cr & = {a^2}{c^2} + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} + {b^2}{c^2} = c\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + {d^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \cr & = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \cr} \)
Vế phải bằng vế trái, đẳng thức được chứng minh.
Câu 18 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Chứng tỏ rằng:
a. \({x^2} – 6x + 10 > 0\) với mọi \(x\)
b. \(4x – {x^2} – 5 < 0\) với mọi \(x\)
Giải:
a. \({x^2} – 6x + 10 = {x^2} – 2.x.3 + 9 + 1 = {\left( {x – 3} \right)^2} + 1\)
Ta có: \({\left( {x – 3} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \({\left( {x – 3} \right)^2} + 1 > 0\) mọi \(x\)
Vậy \({x^2} – 6x + 10 > 0\) với mọi \(x\)
b. \(4x – {x^2} – 5 = – \left( {{x^2} – 4x + 4} \right) – 1 = – {\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)
Ta có: \({\left( {x – 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi ⇒\( – {\left( {x – 2} \right)^2} \le 0\) mọi \(x\)
⇒\( – {\left( {x – 2} \right)^2} – 1 < 0\) với mọi \(x\)
Vậy \(4x – {x^2} – 5 < 0\)với mọi \(x\)
Câu 19 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:
a. P\( = {x^2} – 2x + 5\)
b. Q\( = 2{x^2} – 6x\)
c. M\( = {x^2} + {y^2} – x + 6y + 10\)
Giải:
a. P\(= {x^2} – 2x + 5)\\( = {x^2} – 2x + 1 + 4 = {\left( {x – 1} \right)^2} + 4\)
Ta có:
\({\left( {x – 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + 4 \ge 4\)
\( \Rightarrow P = {x^2} – 2x + 5 = {\left( {x – 1} \right)^2} + 4 \ge 4\)
\( \Rightarrow P = 4\) là giá trị bé nhất ⇒ \({\left( {x – 1} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = 1\)
Vậy P=4 là giá trị bé nhất của đa thức khi
b. Q\( = 2{x^2} – 6x\)\( = 2\left( {{x^2} – 3x} \right) = 2\left( {{x^2} – 2.{3 \over 2}x + {9 \over 4} – {9 \over 4}} \right)\)
\( = 2\left[ {{{\left( {x – {2 \over 3}} \right)}^2} – {9 \over 4}} \right] = 2{\left( {x – {2 \over 3}} \right)^2} – {9 \over 2}\)
Ta có: \({\left( {x – {2 \over 3}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x – {2 \over 3}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x – {2 \over 3}} \right)^2} – {9 \over 2} \ge – {9 \over 2}\)
\( \Rightarrow Q = – {9 \over 2}\) là giá trị nhỏ nhất \( \Rightarrow {\left( {x – {2 \over 3}} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = {2 \over 3}\)
Vậy \(Q = – {9 \over 2}\) là giá trị bé nhất của đa thức \(x = {2 \over 3}\)
c.
\(\eqalign{ & M = {x^2} + {y^2} – x + 6y + 10 = \left( {{y^2} + 6y + 9} \right) + \left( {{x^2} – x + 1} \right) \cr & = {\left( {y + 3} \right)^2} + \left( {{x^2} – 2.{1 \over 2}x + {1 \over 4} + {3 \over 4}} \right) = {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \cr} \)
Ta có:
\(\eqalign{ & {\left( {y + 3} \right)^2} \ge 0;{\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \cr & \Rightarrow {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge {3 \over 4} \cr} \)
\( \Rightarrow M = {3 \over 4}\) là giá trị nhỏ nhất khi \({\left( {y + 3} \right)^2} = 0\)
\( \Rightarrow y = – 3\) và \({\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = {1 \over 2}\)
Vậy \(M = {3 \over 4}\) là giá trị bé nhất tại \(y = – 3\) và \(x = {1 \over 2}\)
Câu 20 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức:
a. \(A = 4x – {x^2} + 3\)
b. \(B = x – {x^2}\)
c. \(N = 2x – 2{x^2} – 5\)
Giải:
a. \(A = 4x – {x^2} + 3 = 7 – {x^2} + 4x – 4 = 7 – \left( {{x^2} – 4x + 4} \right) = 7 – {\left( {x – 2} \right)^2}\)
Ta có: \({\left( {x – 2} \right)^2} \ge 0\)
Suy ra: \(A = 7 – {\left( {x – 2} \right)^2} \le 7\)
Vậy giá trị của A lớn nhất là 7 tại \(x = 2\)
b. \(B = x – {x^2})\\( = {1 \over 4} – {x^2} + x – {1 \over 4} = {1 \over 4} – \left( {{x^2} – 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4}} \right) = {1 \over 4} – {\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2}\)
Vì \({\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) . Suy ra: \(B = {1 \over 4} – {\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} \le {1 \over 4}\)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là \({1 \over 4}\) tại \(x = {1 \over 2}\)
c. \(N = 2x – 2{x^2} – 5\) \( = – 2\left( {{x^2} – x + {5 \over 2}} \right) = – 2\left( {{x^2} – 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4} + {9 \over 4}} \right)\)
\( = – 2\left[ {{{\left( {x – {1 \over 2}} \right)}^2} + {9 \over 4}} \right] = – 2{\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} – {9 \over 2}\)
Vì\({\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) nên\( – 2{\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} \le 0\)
Suy ra: \(N = – 2{\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} – {9 \over 2} \le – {9 \over 2}\)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là \( – {9 \over 2}\) tại \(x = {1 \over 2}\)
Câu 3.1 trang 8 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho \({x^2} + {y^2} = 26\) và\(xy = 5\) giá trị của\({\left( {x – y} \right)^2}\) là:
A. 4
B. 16
C. 21
D. 36
Giải:
Chọn B. 16
Câu 3.2 trang 8 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Kết quả của tích
\(\left( {{a^2} + 2a + 4} \right)\left( {a – 2} \right)\) là:
A. \({\left( {a + 2} \right)^3}\)
B. \({\left( {a – 2} \right)^3}\)
C. \({a^3} + 8\)
D. \({a^3} – 8\)
Giải:
Chọn D. \({a^3} – 8\)
Câu 3.3 trang 8 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Rút gọn các biểu thức:
a. \(P = {\left( {5x – 1} \right)^2} + 2\left( {1 – 5x} \right)\left( {4 + 5x} \right) + {\left( {5x + 4} \right)^2}\)
b. \(Q = {\left( {x – y} \right)^3} + {\left( {y + x} \right)^3} + {\left( {y – x} \right)^3} – 3xy\left( {x + y} \right)\)
Giải:
a. \(P = {\left( {5x – 1} \right)^2} + 2\left( {1 – 5x} \right)\left( {4 + 5x} \right) + {\left( {5x + 4} \right)^2}\)
\(\eqalign{ & = {\left( {1 – 5x} \right)^2} + 2\left( {1 – 5x} \right)\left( {5x + 4} \right) + {\left( {5x + 4} \right)^2} \cr & = {\left[ {\left( {1 – 5x} \right) + \left( {5x + 4} \right)} \right]^2} = {5^2} = 25 \cr} \)
b. \(Q = {\left( {x – y} \right)^3} + {\left( {y + x} \right)^3} + {\left( {y – x} \right)^3} – 3xy\left( {x + y} \right)\)
\(\eqalign{ & = {x^3} – 3{x^2}y + 3x{y^2} – {y^3} + {y^3} + 3x{y^2} + 3{x^2}y + {x^3} + {y^3} – 3x{y^2} + 3{x^2}y \cr & – {x^3} – 3{x^2}y – 3x{y^2} = {x^3} + {y^3} \cr} \)
Câu 3.4 trang 8 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Rút gọn biểu thức: \(P = 12\left( {{5^2} + 1} \right)\left( {{5^4} + 1} \right)\left( {{5^8} + 1} \right)\left( {{5^{16}} + 1} \right)\)
Giải:
\(P = 12\left( {{5^2} + 1} \right)\left( {{5^4} + 1} \right)\left( {{5^8} + 1} \right)\left( {{5^{16}} + 1} \right)\)
\(\eqalign{ & = {1 \over 2}\left( {{5^2} – 1} \right)\left( {{5^2} + 1} \right)\left( {{5^4} + 1} \right)\left( {{5^4} + 1} \right)\left( {{5^8} + 1} \right)\left( {{5^{16}} + 1} \right) \cr & = {1 \over 2}\left( {{5^4} – 1} \right)\left( {{5^4} + 1} \right)\left( {{5^8} + 1} \right)\left( {{5^{16}} + 1} \right) \cr & = {1 \over 2}\left( {{5^8} – 1} \right)\left( {{5^8} + 1} \right)\left( {{5^{16}} + 1} \right) \cr & = {1 \over 2}\left( {{5^{16}} – 1} \right)\left( {{5^{16}} + 1} \right) = {1 \over 2}\left( {{5^{32}} – 1} \right) \cr} \)
Câu 3.5 trang 8 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Chứng minh hằng đẳng thức: \({\left( {a + b + c} \right)^3} = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\)
Giải:
Biến đổi vế trái:
\(\eqalign{ & {\left( {a + b + c} \right)^3} = {\left[ {\left( {a + b} \right) + c} \right]^3} = {\left( {a + b} \right)^3} + 3{\left( {a + b} \right)^2}c + 3\left( {a + b} \right){c^2} + {c^3} \cr & = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} + 3\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right)c + 3a{c^2} + 3b{c^2} + {c^3} \cr & = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + 3{a^2}c + 6abc + 3{b^2}c + 3a{c^2} + 3b{c^2} \cr & = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3ab\left( {a + b} \right) + 3ac\left( {a + b} \right) + 3bc\left( {a + b} \right) + 3{c^2}\left( {a + b} \right) \cr & = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left( {ab + ac + bc + {c^2}} \right) \cr & = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left[ {a\left( {b + c} \right) + c\left( {b + c} \right)} \right] \cr & = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right) \cr} \)
Vế trái bằng vế phải đẳng thức được chứng minh.
Trả lời