Bài 10 trang 51
Bài 11 trang 52 SBT Toán 8 tập 2
Cho m < n, hãy so sánh:
a. 5m và 5n
b. -3m và -3n
Giải: a. 5m < 5n
b. -3m > -3n
Bài 12 trang 52
Số b là số âm, số 0, hay số dương nếu:
a. 5b > 3b
b. -12b > 8b
c. -6b ≥ 9b
d. 3b ≤ 15b
Giải: a. Vì 5 > 3 mà 5b > 3b nên b là số dương.
b. Vì -12 < 8 mà -12b > 8b nên b là số âm.
c. Vì -6 < 9 mà -6b ≥ 9b nên b là số không dương (tức b ≤ 0)
d. Vì 3 < 5 mà 3b ≤ 15b nên b là số không âm (tức b ≥ 0)
Bài 13 trang 52 SBT Toán 8 tập 2
Bài 14
Cho m > n, chứng tỏ:
a. m + 3 > n + 1
b. 3m + 2 > 3n
Trả lời: a. Ta có:
m > n ⇒ m + 3 > n + 3 (1)
1 < 3 ⇒ n + 1 < n + 3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: m + 3 > n + 1
b. Ta có:
m > n ⇒ 3m > 3n (3)
2 > 0 ⇒ 3m + 2 > 3n (4)
Từ (3) và (4) suy ra: 3m + 2 > 3n
Bài 15 trang 52
Cho m < n, chứng tỏ:
a. 2m + 1 < 2n + 1
b. 4(m – 2 ) < 4 (n – 2 )
c. 3 – 6m > 3 – 6n
Bài giải: a. Ta có:
m < n ⇒ 2m < 2n 2m + 1 < 2n + 1
b. Ta có:
\(m < n \Rightarrow m – 2 < n – 2 \Rightarrow 4\left( {m – 2} \right) < 4\left( {n – 2} \right)\)
c. Ta có:
\(m < n \Rightarrow – 6m < – 6n \Rightarrow 3 – 6m > 3 – 6n\)
Bài 16
Cho m < n, chứng tỏ:
a. 4m + 1 < 4n + 5
b. 3 – 5m > 1 – 5n
Giải:
a. Ta có:
\(m < n \Rightarrow 4m < 4n \Rightarrow 4m + 1 < 4n + 1\) (1)
\(1 < 5 \Rightarrow 4n + 1 < 4n + 5\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(4m + 1 < 4n + 5\)
b. Ta có:
\(m < n \Rightarrow – 5m > – 5n \Rightarrow 1 – 5m > 1 – 5n\) (3)
\(3 > 1 \Rightarrow 3 – 5m > 1 – 5m\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: \(3 – 5m > 1 – 5n\)
Bài 17 trang 52
Cho a > 0, b > 0, nếu a < b hãy chứng tỏ:
a. \({a^2} < ab\) và \(ab < {b^2}\)
b. \({a^2} < {b^2}\)và \({a^3} < {b^3}\)
Giải:
a. Với a > 0, b > 0 ta có:
\(a < b \Rightarrow a.a < a.b \Rightarrow {a^2} < ab\) (1)
\(a < b \Rightarrow a.b < b.b \Rightarrow ab < {b^2}\) (2)
b. Từ (1) và (2) suy ra: \({a^2} < {b^2}\)
Ta có: \(a < b \Rightarrow {a^3} < {a^2}b\) (3)
\(a < b \Rightarrow a{b^2} < {b^3}\) (4)
\(a < b \Rightarrow a.a.b < a.b.b \Rightarrow {a^2}b < a{b^2}\) (5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra: \({a^3} < {b^3}\)
Bài 18
Cho a > 5, hãy cho biết bất đẳng thức nào xảy ra:
a. a + 5 > 10
b. a + 4 > 8
c. -5 > -a
d. 3a > 13
HD giải: a. Ta có:
\(a > 5 \Rightarrow a + 5 > 5 + 5 \Rightarrow a + 5 > 10\)
b. Ta có:
\(a > 5 \Rightarrow a + 4 > 5 + 4 \Rightarrow a + 4 > 9 \Rightarrow a + 4 > 8\)
c. Ta có:
\(a > 5 \Rightarrow – a < – 5 \Rightarrow – 5 > – a\)
d. Ta có:
\(a > 5 \Rightarrow a.3 > 5.3 \Rightarrow 3a > 15 \Rightarrow 3a > 13\)
Bài 19
Bài 20
Bài 21 trang 52 SBT Toán 8 tập 2
Cho 2a > 8, chứng tỏ a > 4.
Điều ngược lại là gì ? Điều đó có đúng không ?
Giải:
Ta có: \(2a > 8 \Rightarrow 2a.{1 \over 2} > 8.{1 \over 2} \Rightarrow a > 4\)
Ngược lại: Nếu a > 4 thì 2a > 8
Điều này đúng vì: a > 4\( \Rightarrow a.2 > 4.2 \Rightarrow 2a > 8\)
Bài 22
a. Cho bất đẳng thức m > 0.
Nhận cả hai vế của bất đẳng thức với số nào thì được bất đẳng thức \({1 \over m} > 0\) ?
b. Cho bất đẳng thức m < 0.
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số nào thì được bất đẳng thức \({1 \over m} < 0\) ?
Giải:
a. Ta có:m > 0 \( \Rightarrow {1 \over {{m^2}}} > 0 \Rightarrow m.{1 \over {{m^2}}} > 0 \Rightarrow {1 \over m} > 0\)
b. Ta có:
\(\eqalign{ & m < 0 \Rightarrow {m^2} > 0 \Rightarrow {1 \over {{m^2}}} > 0 \cr & m < 0 \Rightarrow m.{1 \over {{m^2}}} < 0.{1 \over {{m^2}}} \Rightarrow {1 \over m} < 0 \cr} \)
Câu 2.1 , 2.2 trang 53
2.1 Cho ba số a, b và k mà a > b. Nếu ak < bk thì số k là
A. Số dương
B. Số 0
C. Số âm
D. Số bất kì.
2.2. Cho hai số a và b mà – 7a < -7b
Khoanh tròn vào chữ cái trước khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. a – 7 <
B. a > b
C. a < b
D. a ≤ b.
Bài 24 trang 53
Bài 25 trang 53
So sánh \({m^2}\) và m nếu:
a. m lớn hơn 1
b. m dương nhưng nhỏ hơn 1
Hướng dẫn: a. Ta có:
\(m > 1 \Rightarrow m.m > 1.m \Rightarrow {m^2} > m\)
b. Ta có:
\(m > 0\) và \(m < 1 \Rightarrow m.m < 1.m \Rightarrow {m^2} < m\)
Bài 26 trang 53
Cho a < b và c < d, chứng tỏ a + c < b + d.
Giải: Ta có: a < b \( \Rightarrow a + c < b + c\) (1)
\(c < d \Rightarrow b + c < b + d\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: a + c < b + d.
Bài 27 trang 53 SBT Toán 8 tập 2
Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn a < b, c < d, chứng tỏ ac < bd.
Giải: Với a > 0, b > 0, c > 0, d > 0 ta có:
\(a < b \Rightarrow ac < bc\) (1)
\(c < d \Rightarrow bc < bd\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ac < bd.
Câu 28 trang 53
Chứng tỏ rằng với a và b là các số bất kì thì :
a. \({a^2} + {b^2} – 2ab \ge 0\)
b. \({{{a^2} + {b^2}} \over 2} \ge ab\)
Bài làm: a. Ta có:
\({\left( {a – b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} – 2ab \ge 0\)
b. Ta có:
\(\eqalign{ & {\left( {a – b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} – 2ab \ge 0 \cr & \Rightarrow {a^2} + {b^2} – 2ab + 2ab \ge 2ab \cr & \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab \cr & \Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right).{1 \over 2} \ge 2ab.{1 \over 2} \cr & \Rightarrow {{{a^2} + {b^2}} \over 2} \ge ab \cr} \)
Bài 29 trang 53
Cho a và b là các số dương, chứng tỏ:
\({a \over b} + {b \over a} \ge 2\)
Bài giải:
Ta có:
\(\eqalign{ & {\left( {a – b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} – 2ab \ge 0 \cr & \Rightarrow {a^2} + {b^2} – 2ab + 2ab \ge 2ab \cr} \)
\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab\) (*)
\(a > 0,b > 0 \Rightarrow a.b > 0 \Rightarrow {1 \over {ab}} > 0\)
Nhân hai vế của (*) với \({1 \over {ab}}\) ta có:
\(\eqalign{ & \left( {{a^2} + {b^2}} \right).{1 \over {ab}} \ge 2ab.{1 \over {ab}} \cr & \Leftrightarrow {{{a^2}} \over {ab}} + {{{b^2}} \over {ab}} \ge 2 \cr & \Leftrightarrow {a \over b} + {b \over a} \ge 2 \cr} \)
Bài 30 trang 53 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2
a. Với số a bất kì, chứng tỏ \(a\left( {a + 2} \right) < {\left( {a + 1} \right)^2}\)
b. Chứng minh rằng: Trong ba số nguyên liên tiếp thì bình phương số đứng giữa lớn hơn tích hai số còn lại.
a. Ta có:
\(\eqalign{ & 0 < 1 \Rightarrow {a^2} + 2a + 0 < {a^2} + 2a + 1 \cr & \Rightarrow {a^2} + 2a < {\left( {a + 1} \right)^2} \cr & \Rightarrow a\left( {a + 2} \right) < {\left( {a + 1} \right)^2} \cr} \)
b. Gọi a, a + 1, a + 2 là ba số nguyên liên tiếp, ta có:
\({\left( {a + 1} \right)^2} = {a^2} + 2a + 1\) (1)
\(a\left( {a + 2} \right) = {a^2} + 2a\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(a\left( {a + 2} \right) < {\left( {a + 1} \right)^2}\)
Vậy trong ba số nguyên liên tiếp thì bình phương số đứng giữa lớn hơn tích hai số còn lại.
Câu 2.3, 2.4, 2.5 trang 54
2.4
2.5 a. Cho x > 0, chứng tỏ
\(x + {1 \over 2} \ge 2\)
b. Từ kết quả câu a, nếu x < 0 sẽ có kết quả nào ?
Giải:
a. Nếu có \(x + {1 \over 2} \ge 2\) thì suy ra \(x + {1 \over x} \ge 2\)
nên ta sẽ chứng tỏ \(x + {1 \over x} – 2 \ge 0\)
Ta có, \(x + {1 \over x} – 2 = {{{x^2} + 1 – 2x} \over x} = {{{{\left( {x – 1} \right)}^2}} \over x}\)
Vì \({\left( {x – 1} \right)^2} \ge 0\) với x bất kì và x > 0 nên \({{{{\left( {x – 1} \right)}^2}} \over x} \ge 0\)
Vậy \(x + {1 \over x} – 2 \ge 0\) , nghĩa là \(x + {1 \over x} \ge 2\)
b. Nếu x < 0, ta đặt a = -x thì a > 0
Từ kết quả câu a, ta có \(a + {1 \over a} \ge 2\)
Thay a = -x, ta có:
\( – x = {1 \over { – x}} \ge 2\) (1)
Nhân hai vế của (1) với số -1, ta có:
\(x + {1 \over x} \le – 2\)
Vậy, với x < 0 thì \(x + {1 \over x} \le – 2\)
2.3 Cho a là số bất kì, hãy đặt dấu “<, >, ≤, ≥” vào ô vuông cho đúng
Giải:
a. Dấu “≥” (xét khi a = 0 và a ≠ 0)
b. Dấu “≤”
c. Dấu “<”
– Nếu a = 0, ta có \(\left| a \right| = 0\)
Khi đó \(\left| a \right| + 3 = 3\)
– Nếu a ≠ 0, ta có \(\left| a \right| > 0\) , suy ra \(\left| a \right| + 3 > 3\) (1)
Với 3 và 0, ta có 3 > 0 (2)
Từ (1) và (2), theo tính chất bắc cầu ta có \(\left| a \right| + 3 > 0\)
Kết luận: \(\left| a \right| + 3 > 0\)với a bất kì.
d. Dấu “<”
Trả lời