Bài 2 Đường kính và dây của đường tròn – Sách bài tập Toán 9 tập 1
Câu 15 trang 158 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn;
b) HK < BC.
Giải:
a) Gọi M là trung điểm của BC
Tam giác BCH vuông tại H có HM là đường
trung tuyến nên:
\(HM = {1 \over 2}BC\) (tính chất tam giác vuông)
Tam giác BCK vuông tại K có KM là đường
trung tuyến nên:
\(KM = {1 \over 2}BC\) (tính chất tam giác vuông)
Suy ra: MB = MC = MH = MK.
Vậy bốn điểm B, C, H, K cùng nằm trên một đường tròn tâm M bán kính bằng \({1 \over 2}BC\).
b) Trong đường tròn tâm M ta có KH là dây cung không đi qua tâm, BC là đường kính nên: KH < BC.
Câu 16 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Tứ giác ABCD có \(\widehat B = \widehat D = 90^\circ \).
a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
b) So sánh độ dài AC và BD. Nếu AC = BD thì tứ giác ABCD là hình gì?
Giải:
a) Gọi M là trung điểm của AC.
Tam giác ABC vuông tại B có BM là đường trung tuyến nên:
\(BM = {1 \over 2}AC\) (tính chất tam giác vuông)
Tam giác ACD vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên:
\(DM = {1 \over 2}AC\) (tính chất tam giác vuông)
Suy ra: MA = MB = MC = MD.
Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn tâm M bán kính bằng \({1 \over 2}AC\).
b) BD là dây của đường tròn (I), còn AC là đường kính nên AC ≥ BD
AC = BD khi và chỉ khi BD cũng là đường kính, khi đó ABCD là hình chữ nhật
Câu 17 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và dây EF không cắt đường kính. Gọi I và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến EF. Chứng minh rằng IE = KF.
Giải:
Ta có: AI ⊥ EF (gt)
BK ⊥ EF (gt)
Suy ra: AI // BK
Suy ra tứ giác ABKI là hình thang
Kẻ OH ⊥ EF
Suy ra: OH // AI // BK
Ta có: OA = OB (= R)
Suy ra: HI = HK
Hay: HE + EI = HF+FK (1)
Lại có: HE = HF (đường kính dây cung) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: IE = KF.
Câu 18 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho đường tròn (O) có bán kính OA = 3cm. Dây BC của đường tròn vuông góc với OA tại trung điểm của OA. Tính độ dài BC.
Giải:
Gọi I là trung điểm của AB
Suy ra: \(IO = IA = {1 \over 2}OA = {3 \over 2}\)
Ta có: BC ⊥OA (gt)
Suy ra: \(\widehat {OIB} = 90^\circ \)
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OIB ta có: \(O{B^2} = B{I^2} + I{O^2}\)
suy ra: \(B{I^2} = O{B^2} – I{O^2}\)
\(={3^2} – {\left( {{3 \over 2}} \right)^2} = 9 – {9 \over 4} = {{27} \over 4}\)
\(BI ={{3\sqrt 3 } \over 2}\) (cm)
Ta có: BI = CI (đường kính dây cung)
Suy ra: \(BC = 2BI=2.{{3\sqrt 3 } \over 2} = 3\sqrt 3 \) (cm)
Câu 19 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho đường tròn (O), đường kính AD = 2R. Vẽ cung tâm D bán kính R, cung này cắt đường tròn (O) ở B và C.
a) Tứ giác OBDC là hình gì? Vì sao?
b) Tính số đo các góc CBD, CBO, OBA.
c) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
Giải:
a) Ta có:
OB = OC = R (vì B, C nằm trên (O ; R))
DB = DC = R ( vì B, C nằm trên (D ; R))
Suy ra : OB = OC = DB = DC.
Vậy tứ giác OBDC là hình thoi.
b) Ta có: OB = OD = BD = R
∆OBD đều \( \Rightarrow \widehat {OBD} = 60^\circ \)
Vì OBDC là hình thoi nên:
\(\widehat {CBD} = \widehat {OBC} = {1 \over 2}\widehat {OBD} = 30^\circ \)
Tam giác ABD nội tiếp trong (O) có AD là đường kính nên:
\(\widehat {ABD} = 90^\circ \)
Mà \(\widehat {OBD} + \widehat {OBA} = 90^\circ \)
Nên \(\widehat {OBA} = \widehat {ABD} – \widehat {OBD} = 90^\circ – 60^\circ = 30^\circ \)
c) Tứ giác OBDC là hình thoi nên OD ⊥ BC hay AD ⊥ BC
Ta có: AB = AC ( tính chất đường trung trực)
Suy ra tam giác ABC cân tại A (1)
Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {OBC} – \widehat {OBA} = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ \). (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABC đều.
Câu 20 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1
a) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD. Các đường vuông góc với CD tại C và D tương ứng cắt AB ở M và N. Chứng minh rằng AM = BN.
b) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên AB lấy các điểm M, N sao cho
AM = BN. Qua M và qua N, kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt ở C và D. Chứng minh rằng MC và ND vuông góc với CD.
Giải:
a) Ta có: CM ⊥CD
DN⊥CD
Suy ra: CM // DN
Kẻ OI ⊥CD
Suy ra: OI // CM // DN
Ta có: IC = ID (đường kính dây cung)
Suy ra: OM = ON (1)
Mà: AM + OM = ON + BM( = R) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AM = BN.
b) Ta có: MC // ND (gt)
Suy ra tứ giác MCDN là hình thang
Lại có: OM + AM = ON + BN (= R)
Mà AM = BN (gt)
Suy ra: OM = ON
Kẻ OI ⊥ CD (3)
Suy ra: IC = ID (đường kính dây cung)
Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ACDN
Suy ra: OI // MC // ND (4)
Từ (3) và (4) suy ra: MC ⊥ CD, ND ⊥ CD.
Câu 21* trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Dây CD cắt đường kính AB tại I. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng CH = DK.
Giải:
Kẻ OM ⊥ CD cắt AD tại N.
Ta có: MC = MD ( đường kính dây cung)
Hay MH + CH = MK + KD (1)
Ta có: OM // BK (cùng vuông góc với CD)
Hay: MN // BK
Mà: OA = OB (= R)
Suy ra: NA = NK (tính chất đường trung bình của tam giác)
Lại có: OM // AH ( cùng vuông góc với CD)
Hay: MN // AH
Mà: NA = NK (chứng minh trên)
Suy ra: MH = MK ( tính chất đường trung bình của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: CH = DK.
Câu 22 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm bên trong đường tròn.
a) Hãy nêu cách dựng dây AB nhận M làm trung điểm.
b) Tính độ dài AB ở câu a) biết rằng R = 5cm; Om = 1,4cm.
Giải:
a) * Cách dựng
− Dựng đoạn OM.
− Qua M dựng đường thẳng vuông góc với OM cắt O tại A và B.
Nối A và B ta được dây cần dựng.
* Chứng minh
Ta có: OM ⊥ AB ⟹MA = MB.
b) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OMB, ta có:
\(O{B^2} = O{M^2} + M{B^2}\)
Suy ra: \(M{B^2} = O{B^2} – O{M^2} = {5^2} – 1,{4^2} = 25 – 1,96 = 23,04\)
MB = 4,8 (cm)
Vậy AB = 2.MB = 2.4,8 = 9,6 (cm).
Câu 23 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn, điểm B nằm ngoài đường tròn sao cho trung điểm I của AB nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây CD vuông góc với OI tại I. hãy cho biết ACBD là hình gì? Vì sao?
Giải:
Ta có: OI ⊥ CD (gt)
Suy ra: IC = ID (đường kính dây cung)
Mà: IA = IB (gt)
Tứ giác ACBD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.
Câu 2.1 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1
Độ dài cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn (O; R) bằng:
(A) \({R \over 2}\) ; (B) \({{R\sqrt 3 } \over 2}\) ;
(B) (C) \(R\sqrt 3 \) ; (D) Một đáp số khác.
Hãy chọn phương án đúng.
Giải:
Chọn (C).
Câu 2.2 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1
Cho đường tròn (O; 2cm). Vẽ hai dây AB và CD vuông góc với nhau. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ABCD.
Giải:
Ta có \(AB \le 4cm\),
\(CD \le 4cm.\) Do AB ^ CD nên
\({S_{ABCD}} = {1 \over 2}AB.CD \le {1 \over 2}.4.4 = 8\) (cm2).
Giá trị lớn nhất của \({S_{ABC{\rm{D}}}}\) bằng 8 cm2 khi AB và CD đều là đường kính của đường tròn.
Câu 2.3 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1
Cho đường tròn (O; R), dây AB khác đường kính. Vẽ về hai phía của AB các dây AC, AD. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ B và AC và AD. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm A, H, B, K thuộc cùng một đường tròn;
b) HK < 2R.
Giải:
a) Bốn điểm A, H, B, K cùng thuộc đường tròn đường kính AB.
b) Ta có \(HK \le AB \le 2R\).
Trả lời