Bài 6 trang 84 SBT Toán 8 tập 2
Cho tam giác ABC có cạnh BC = a. Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho AD = DE = EB. Từ D, E kẻ các đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AC theo thứ tự tại M, N (h.5)
Tính theo a độ dài của các đoạn thẳng DM và EN.
Giải:
Ta có: AD = DE = EB = \({1 \over 3}AB\) (1)
Suy ra: AE = AD + DE = \({2 \over 3}AB\) (2)
Trong ∆ ABC, ta có : DM // BC (gt)
Nên \({{AD} \over {AB}} = {{DM} \over {BC}}\) (hệ quả định lí Ta-lét)
Suy ra: \({{AD} \over {AB}} = {{DM} \over a}\) (3)
Từ (1) và (3) suy ra: \({{DM} \over a} = {1 \over 3}\)
Suy ra: \(DM = {1 \over 3}a\)
Trong ∆ABC, ta có: EN // BC (gt)
Suy ra: \({{AE} \over {AB}} = {{EN} \over {BC}}\) (hệ quả định lí Ta-lét)
Suy ra: \({{AE} \over {AB}} = {{EN} \over a}\) (4)
Từ (2) và (4) suy ra: \({{EN} \over a} = {2 \over 3}\) hay \(EN = {2 \over 3}a\)
Bài 7 trang 84
Hình 6 chi biết MN // BC, AB = 25cm, BC = 45cm, AM = 16cm, AN = 10cm.
Tính độ dài x, y của các đoạn thẳng MN, AC.
Giải:
(xem hình 6)
Trong ∆ ABC, ta có: MN // BC (gt)
Suy ra: \({{AN} \over {AB}} = {{AM} \over {AC}} = {{MN} \over {BC}}\) (hệ quả định lí Ta-lét)
Suy ra: \({{10} \over {25}} = {{16} \over y} = {x \over {45}}\)
Vậy : \(y = {{25.16} \over {10}} = 40\)
\(x = {{10.45} \over {25}} = 18\)
Bài 8 trang 84 SBT Toán 8
Hình 7 cho biết tam giác ABC vuông tại A, MN // BC, AB = 24cm, AM = 16cm, AN = 12cm. Tính độ dài x, y của các đoạn thẳng NC và BC.
Bài giải:
(xem hình 7)
Trong ∆ ABC ta có: MN // BC (gt)
Suy ra: \({{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {AC}}\) (định lí Ta-lét)
Suy ra: \(AC = {{AB.AN} \over {AM}} = {{24.12} \over {16}} = 18\) (cm)
Vậy: NC = AC – AN = 18 – 12 = 6 (cm)
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AMN, ta có:
\(\eqalign{ & M{N^2} = A{M^2} + A{N^2} = {16^2} + {12^2} = 400 \cr & MN = 20(cm) \cr} \)
Trong ∆ABC, ta có: MN // BC (gt)
Suy ra: \({{AM} \over {AB}} = {{MN} \over {BC}}\) (hệ quả định lí Ta-lét)
Vậy: \(BC = {{MN.AB} \over {AM}} = {{20.24} \over {16}} = 30\) (cm)
Bài 9 trang 84
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O (h.8).
Chứng minh rằng: OA.OD = OB.OC.
Giải:
(hình 8 trang 84 sbt)
Trong ∆ OCD, ta có: AB // CD (gt)
Suy ra: \({{OA} \over {OC}} = {{OB} \over {OD}}\) (hệ quả định lí Ta-lét)
Vậy OA.OD = OB.OC.
Bài 10 trang 84 SBT Toán 8 tập 2
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng song song với đáy AB cắt các cạnh bên và các đường chéo AD, BD, AC và BC theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q (h.9)
Chứng minh rằng MN = PQ.
Giải:
Trong tam giác ADB, ta có: MN // AB (gt)
Suy ra: \({{DN} \over {DB}} = {{MN} \over {AB}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét ) (1)
Trong tam giác ACB, ta có: PQ // AB (gt)
Suy ra: \({{CQ} \over {CB}} = {{PQ} \over {AB}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét ) (2)
Lại có: NQ // AB (gt)
AB // CD (gt)
Suy ra: NQ // CD
Trong tam giác BDC, ta có: NQ // CD (chứng minh trên)
Suy ra: \({{DN} \over {DB}} = {{CQ} \over {CB}}\) (Định lí Ta-lét ) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \({{MN} \over {AB}} = {{PQ} \over {AB}}\) hay MN = PQ.
Bài 11 SBT Toán 8 trang 85
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Trên cạnh bên AD lấy điểm E sao cho \({{AE} \over {ED}} = {p \over q}\) . Qua E kẻ đường thẳng song song với các đáy và cắt BC tại F
Chứng minh rằng: \(EF = {{p.CD + q.AB} \over {p + q}}\)
HD: Kẻ thêm đường chéo AC, cắt EF ở I, rồi áp dụng hệ quả định lí Ta-lét vào các tam giác ADC và CAB.
Giải:
Kẻ đường chéo AC cắt EF tại I.
Trong tam giác AEC, ta có: EI // CD
Suy ra: \({{AE} \over {AD}} = {{EI} \over {CD}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét )
Suy ra: \(EI = {{AE} \over {AD}}.CD\) (1)
Lại có: \({{AE} \over {ED}} = {p \over q}\) (gt)
Suy ra: \({{AE} \over {AE + ED}} = {p \over {p + q}}\)
Suy ra: \({{AE} \over {AD}} = {p \over {p + q}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(EI = {p \over {p + d}}.CD\)
Trong tam giác ABC, ta có: IF // AB
Suy ra: \({{BF} \over {FC}} = {{AI} \over {IC}}\) (Định lí Ta-lét ) (3)
Trong tam giác ADC, ta có: EI // CD
Suy ra: \({{AE} \over {ED}} = {{AI} \over {IC}}\) (Định lí Ta-lét ) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: \({{BF} \over {FC}} = {{AE} \over {ED}} = {p \over q}\)
Trong tam giác ABC, ta có: IF // BC
Suy ra: \({{IF} \over {AB}} = {{CF} \over {CB}}\) (Hệ quả của định lí Ta-lét)
Suy ra: \(IF = {{CF} \over {CB}}.AB\) (5)
Ta có: \({{BF} \over {CF}} = {p \over q}\) (cmt)
Suy ra: \({{CF} \over {BF}} = {q \over p} \Rightarrow {{CF} \over {CF + BF}} = {q \over {p + q}} \Rightarrow {{CF} \over {CB}} = {q \over {p + q}}\) (6)
Từ (5) và (6) suy ra: \(IF = {q \over {p + q}}.AB\)
Vậy: \(EF = EI + {\rm I}F = {p \over {p + q}}.CD + {q \over {p + d}}.AB = {{p.CD + q.AB} \over {p + q}}\)
Bài 12 trang 85 Sách bài tập Toán 8 tập 2
Hình thang cân ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O (h.11). Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BD và AC. Cho biết MD = 3MO, đáy lớn CD = 5,6cm.
a. Tính độ dài đoạn thẳng MN và đáy nhỏ AB.
b. So sánh độ dài đoạn thẳng MN với nửa hiệu các độ dài của CD và AB.
Giải:
a. Vì ABCD là hình thang cân có AB // CD nên:
AC = BD (1)
Xét ∆ADC và ∆BCD, ta có:
AC = BD (chứng minh trên )
AD = BC (ABCD cân)
CD cạnh chung
Suy ra: ∆ADC = ∆BCD (c.c.c)
Suy ra: \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\)
Hay \(\widehat {OCD} = \widehat {ODC}\)
Suy ra tam giác OCD cân tại O
Suy ra: (tính chất tam giác cân) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: OA = OB
Lại có: MD = 3MO (gt) ⇒ NC = 3NO
Trong tam giác OCD, ta có: \({{MO} \over {MD}} = {{NO} \over {NC}} = {1 \over 3}\)
Suy ra: MN // CD (Định lí đảo của định lí Ta-lét )
Ta có: OD = OM + MD = OM + 3OM = 4OM
Trong tam giác OCD, ta có: MN // CD
Suy ra: \({{OM} \over {OD}} = {{MN} \over {CD}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét )
Suy ra: \({{MN} \over {CD}} = {{OM} \over {4OM}} = {1 \over 4}\)
Suy ra: \(MN = {1 \over 4}CD = {1 \over 4}.5,6 = 1,4\) (cm)
Ta có: MB = MD (gt)
Suy ra: MB = 3OM hay OB = 2OM
Lại có: AB // CD (gt), suy ra: MN // AB
Trong tam giác OAB, ta có: MN // AB
Suy ra: \({{OM} \over {OB}} = {{MN} \over {AB}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét )
Suy ra: \({{MN} \over {AB}} = {{OM} \over {2OM}} = {1 \over 2}\)
Vậy AB = 2MN = 2.1,4 = 2,8 (cm)
b. Ta có: \({{CD – AB} \over 2} = {{5,6 – 2,8} \over 2} = {{2,8} \over 2} = 1,4\) (cm)
Vậy MN\( = {{CD – AB} \over 2}\)
Bài 13 trang 85
Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi trung điểm của các đường chéo AC, BD thứ tự là N và M. Chứng minh rằng:
a. MN// AB;
b. \(MN = {{CD – AB} \over 2}\)
Giải:
a. Gọi P là trung điểm của AD, nối PM.
Trong tam giác DAB, ta có:
\({{PA} \over {AD}} = {1 \over 2};{{BM} \over {BD}} = {1 \over 2}\)
Suy ra: \({{PA} \over {AD}} = {{BM} \over {BD}}\)
Suy ra: PM // AB (Định lí đảo của định lí Ta-lét) (1)
Trong tam giác ACD, ta có: \({{AP} \over {AD}} = {1 \over 2};{{AN} \over {AC}} = {1 \over 2}\)
Suy ra: \({{AP} \over {AD}} = {{AN} \over {AC}}\)
Suy ra: PN // CD ( Định lí đảo định lí Ta-lét) (2)
Từ (1) và (2) và theo tiên đề Ơ-clít suy ra P, M, N thẳng hàng.
Vậy MN // CD hay MN // AB.
b. Vì PM là đường trung bình của tam giác DAB nên:
\(PM = {{AB} \over 2}\) (tính chất đường trung bình tam giác)
Vì PN là đường trung bình của tam giác ADC nên:
\(PN = {{AB} \over 2}\) (tính chất đường trung bình tam giác)
Mà PN = PM + MN
Suy ra: MN = PN – PM = \({{CD} \over 2} – {{AB} \over 2} = {{CD – AB} \over 2}\)
Bài 14 trang 85 SBT Toán lớp 8 tập 2
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng: OM = ON
Giải:
Trong tam giác DAB, ta có: OM // AB (gt)
\( \Rightarrow {{OM} \over {AB}} = {{DO} \over {DB}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét ) (1)
Trong tam giác CAB, ta có: ON // AB (gt)
\( \Rightarrow {{ON} \over {AB}} = {{CN} \over {CB}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét ) (2)
Trong tam giác BCD, ta có: ON // CD (gt)
Suy ra: \({{DO} \over {DB}} = {{CN} \over {CB}}\) (Định lí Ta-lét ) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \({{OM} \over {AB}} = {{ON} \over {AB}}\)
Vậy: OM = ON.
Câu 2.1
Hình bs.1 cho biết AB // CD, O ∈ MN, MN = 5cm, OB = 1,5cm, OD = 4,5cm, MB = 1cm.
Hãy chọn kết quả đúng.
1. Độ dài của đoạn thẳng MO (tính theo đơn vị cm) là :
A. 1,25
B. 2,25
C. 3,25
D. 4,25
2. Độ dài của đoạn thẳng NO (tính theo đơn vị cm) là:
A. 5,75
B. 3,75
C. 4,25
D. 2,75
Giải:
1. Chọn A
2. Chọn C
Câu 2.3 trang 86
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi M, K, N, H lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ O xuống các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng:
a. \({{OM} \over {ON}} = {{AB} \over {CD}}\)
b. \({{OH} \over {OK}} = {{BC} \over {AD}}\)
Giải:
a. Vì OM ⊥ AB và ON ⊥ CD, mà AB // CD nên suy ra M, O, N thẳng hàng.
Mặt khác, do AB // CD nên theo Định lí Ta-lét ta có:
\({{OM} \over {ON}} = {{MA} \over {NC}}\) hay \({{OM} \over {ON}} = {{MB} \over {ND}}\)
Từ đó, theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\({{OM} \over {ON}} = {{MA} \over {NC}} = {{MB} \over {ND}} = {{MA + MB} \over {NC + ND}} = {{AB} \over {CD}}\)
b. Từ O kẻ đường thẳng song song với AB và CD cắt AD tại E, cắt BC tại F.
Áp dụng kết quả chứng minh ở bài 14 ta có:
OE = OF
Từ đó, ta có:
\({S_{AEO}} = {S_{BFO}}\) (1) (hai tam giác có cùng đường cao và hai đáy bằng nhau);
\({S_{DEO}} = {S_{CFO}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
\({S_{OAD}} = {S_{OBC}}\) (3)
Suy ra: \(OH.AD = OK.BC \Leftrightarrow {{OH} \over {OK}} = {{BC} \over {AD}}\)
Câu 2.3
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi M, K, N, H lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ O xuống các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng:
a. \({{OM} \over {ON}} = {{AB} \over {CD}}\)
b. \({{OH} \over {OK}} = {{BC} \over {AD}}\)
Giải:
a. Vì OM ⊥ AB và ON ⊥ CD, mà AB // CD nên suy ra M, O, N thẳng hàng.
Mặt khác, do AB // CD nên theo Định lí Ta-lét ta có:
\({{OM} \over {ON}} = {{MA} \over {NC}}\) hay \({{OM} \over {ON}} = {{MB} \over {ND}}\)
Từ đó, theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\({{OM} \over {ON}} = {{MA} \over {NC}} = {{MB} \over {ND}} = {{MA + MB} \over {NC + ND}} = {{AB} \over {CD}}\)
b. Từ O kẻ đường thẳng song song với AB và CD cắt AD tại E, cắt BC tại F.
Áp dụng kết quả chứng minh ở bài 14 ta có:
OE = OF
Từ đó, ta có:
\({S_{AEO}} = {S_{BFO}}\) (1) (hai tam giác có cùng đường cao và hai đáy bằng nhau);
\({S_{DEO}} = {S_{CFO}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
\({S_{OAD}} = {S_{OBC}}\) (3)
Suy ra: \(OH.AD = OK.BC \Leftrightarrow {{OH} \over {OK}} = {{BC} \over {AD}}\)
Bài 15 trang 86 SBT Toán 8 tập 2
Cho trước ba đoạn thẳng có độ dài tương ứng là m, n và p. Dựng đoạn thẳng thứ tư có độ dài q sao cho \({m \over n} = {p \over q}\)
Giải:
(hình trang 93 sgbt)
Cách dựng:
– Dựng hai tia chung gốc Ox và Oy phân biệt không đối nhau.
– Trên tia Ox dựng đoạn OA = m và dựng đoạn AB = n sao cho A nằm giữa O và B.
– Trên tia Oy dựng đoạn OC = p.
– Dựng đường thẳng AC
– Từ B dựng đường thẳng song song với AC cắt tia Oy tại D.
Đoạn thẳng CD = q cần dựng.
Chứng minh:
Theo cách dựng, ta có: AC // BD.
Trong ∆ OBD ta có: AC // BD
Suy ra: \({{OA} \over {AB}} = {{OC} \over {CD}}\) (Định lí Ta-lét )
Vậy \({m \over n} = {p \over q}\)
Giải bài 16 trang 86 Toán 8
Cho ba đoạn thẳng AB = 3cm, CD = 5cm, EF = 2cm. Dựng đoạn thẳng thứ tư có độ dài a sao cho \({{AB} \over {CD}} = {{EF} \over a}\) hay \({3 \over 5} = {2 \over a}\) . Tính giá trị của a.
Giải:
Cách dựng:
– Dựng hai tia chung gốc Ox và Oy phân biệt không đối nhau.
– Trên Ox dựng đoạn OM = AM = 3cm và dựng đoạn MN = CD = 5cm sao cho M nằm giữa O và N.
– Trên đoạn Oy dựng đoạn OP = EF = 2cm.
– Dựng đường thẳng PM
– Từ N dựng đường thẳng song song với PM cắt tia Oy tại Q. Đoạn thẳng PQ = a cần dựng.
Chứng minh:
Theo cách dựng, ta có: PM // NQ
Trong ∆ ONQ ta có: PM // NQ
Suy ra: \({{OM} \over {MN}} = {{OP} \over {PQ}}\) (Định lí Ta-lét )
Suy ra: \({{AB} \over {CD}} = {{EF} \over a}\) hay \({3 \over 5} = {2 \over a}\)
Vậy \(a = {{10} \over 3}\) (cm).
Trả lời