Bài 4.15
Hỏi khi số thức a thay đổi tùy ý thì các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các căn bậc hai của a + i vạch nên đường nào ?
Giải
Viết \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) thì
\({z^2} = a + i \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{x^2} – {y^2} = a \hfill \cr 2xy = 1 \hfill \cr} \right.\)
Phương trình \(2xy = 1\) chứng tỏ điểm M biểu diễn z phải thuộc hypebol \(y = {1 \over {2x}}\). Vì với mỗi điểm \(\left( {x,y} \right)\) của hylebol này, tìm được \(a = {x^2} – {y^2}\) nên M vạch nên toàn bộ hai nháy hypebol đó.
——————————————————-
Bài 4.23
a) Chứng minh rằng nếu ba số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn
\(\left\{ \matrix{\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 1 \hfill \cr{z_1} + {z_2} + {z_3} = 1 \hfill \cr} \right.\)
Thì một trong ba số đó phải bằng 1.
b) Giải hệ phương trình ba ẩn phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) sau:
\(\left\{ \matrix{ \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 1 \hfill \cr{z_1}{z_2} + {z_3} = 1 \hfill \cr{z_1}{z_2}{z_3} = 1 \hfill \cr} \right.\)
Giải
a ) Viết \(1 – {z_1} = {z_2} + {z_3}\)
Nếu \({z_1} = 1\) thì \({z_2} + {z_3} = 0\)
Nếu \({z_1} \ne 1\) thì \(1 – {z_1} \ne 0\), điểm P biểu diễn số \(1 + \left( { – {z_1}} \right) = {z_2} + {z_3}\) không trùng với O nên do \(1 = \left| { – {z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right|\), đường trung trực OP cắt đường tròn đơn vị tại hai điểm biểu diễn \(1, – {z_1}\) và cũng là hai điểm biểu diễn \({z_2},{z_3}\) (h.4.7). Vậy \({z_2} = 1,{z_3} = – {z_1}\) hoặc \({z_2} = – {z_1},{z_3} = 1\). Tóm lại hoặc \({z_1} = 1\) hoặc \({z_2} = 1\) hoặc \({z_3} = 1\) và tổng hai số z còn lại bằng 0
b) Từ hai phương trình đầu của hệ, theo câu a) có thể coi \({z_1} = 1,{z_2} + {z_3} = 0\). Khi đó điều kiện \(z_1z_2z_3=1\) kéo theo hoặc \({z_2} = i,{z_3} = – i\) hoặc \({z_2} = – i,{z_3} = i.\). Suy ra hệ có 6 nghiệm do đổi chỗ các phần tử của bộ ba \(\left( {1,i, – i} \right)\)
Trả lời