Bài 1 trang 82 SBT Toán 8 tập 2
Viết tỉ số của các cặp đoạn thẳng sau:
a. AB = 125cm, CD = 625 cm;
b. EF = 45cm, E’F’ = 13,5dm
c. MN = 555cm, M’N’ = 999cm
d. PQ = 10101cm, P’Q’ = 303,03m
Giải: a. Ta có:
\({{AB} \over {CD}} = {{125} \over {625}} = {1 \over 5}\)
b. Đổi: E’F’ = 13,5dm = 135 cm
Ta có:
\({{EF} \over {E’F’}} = {{45} \over {135}} = {1 \over 3}\)
c. Ta có:
\({{MN} \over {M’N’}} = {{555} \over {999}} = {{111.5} \over {111.9}} = {5 \over 9}\)
d. Đổi: P’Q’ = 303,03m = 30303cm
Ta có:
\({{PQ} \over {P’Q’}} = {{10101} \over {30303}} = {{10101} \over {10101.3}} = {1 \over 3}\)
Bài 2 trang 82 SBT Toán 8 tập 2
Đoạn thẳng AB gấp năm lần đoạn thẳng CD; đoạn thẳng A’B’ gấp bảy lần đoạn thẳng CD.
a. Tính tỉ số của hai đoạn thẳng AB và A’B’
b. Cho biết đoạn thẳng MN = 505cm và đoạn thẳng M’N’ = 707cm, hỏi hai đoạn thẳng AB , A’B’ có tỉ lệ với hai đoạn thẳng MN và M’N’ hay không ?
Bài giải: a. Chọn đoạn thẳng CD làm đơn vị
Suy ra đoạn thẳng AB = 5 (đơn vị), đoạn thẳng A’B’ = 7 (đơn vị).
Vậy: \({{AB} \over {A’B’}} = {5 \over 7}\)
b. Ta có:
\({{MN} \over {M’N’}} = {{505} \over {707}} = {{101.5} \over {101.7}} = {5 \over 7}\)
Vì \({{AB} \over {A’B’}} = {{MN} \over {M’N’}}\) nên AB và A’B’ tỉ lệ với MN và M’N’.
Bài 3 trang 82
Tính độ dài x của các đoạn thẳng trong hình 1, biết rằng các số trên hình cùng đơn vị đo là cm.
Giải:
a. Xem hình 1
Trong ∆ ABC, ta có: MN // BC
Suy ra: \({{AM} \over {MB}} = {{AN} \over {NC}}\) (định lí Ta –lét)
Hay \({{17} \over {10}} = {x \over 9}\)
Vậy \(x = {{17.9} \over {10}} = 15,3\) (cm)
b. Xem hình 2
Trong ∆ PQR, ta có: EF // QR
Suy ra: \({{EP} \over {PQ}} = {{PF} \over {PR}}\)
Hay \({{16} \over x} = {{20} \over {PR}}\)
Mà \(PR = PF + FR = 20 + 15 = 35\)
Vậy \(x = {{16.35} \over {20}} = 28\) (cm)
Bài 4 trang 83 SBT Toán 8 tập 2
Cho hình thang ABCD có AB // CD và AB < CD
Đường thẳng song song với đáy AB cắt các cạnh bên CD, BC theo thứ tự tại M và N.
Chứng minh rằng:
a. \({{MA} \over {AD}} = {{NB} \over {BC}}\)
b. \({{MA} \over {MD}} = {{NB} \over {NC}}\)
c. \({{MD} \over {DA}} = {{NC} \over {CB}}\)
HD: Kéo dài các tia DA, CB cắt nhau tại E(h.3), áp dụng định lí Ta-lét trong tam giác và tính chất của tỉ lệ thức để chứng minh.
Lời giải
(xem hình 3)
a. Gọi E là giao điểm của AD và BC.
Trong ∆ EMN, ta có: AB // MN (gt)
Suy ra: \({{EA} \over {MA}} = {{EB} \over {NB}}\) (định lí Ta-lét)
Hay \({{EA} \over {EB}} = {{MA} \over {NB}}\) (1)
Trong ∆ EDC, ta có: AB // CD (gt)
Suy ra: \({{EA} \over {AD}} = {{EB} \over {BC}}\) (định lí Ta-lét)
Hay \({{EA} \over {EB}} = {{AD} \over {BC}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \({{MA} \over {NB}} = {{AD} \over {BC}} \Rightarrow {{MA} \over {AD}} = {{NB} \over {BC}}\)
b. Ta có: \({{MA} \over {AD}} = {{NB} \over {BC}}\) (gt)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\({{MA} \over {AD – MA}} = {{NB} \over {BC – NB}} \Rightarrow {{MA} \over {MD}} = {{NB} \over {NC}}\)
c. Ta có: \({{MA} \over {MD}} = {{NB} \over {NC}}\) (gt)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\({{MA} \over {MD}} = {{NB} \over {NC}} \Rightarrow {{MD} \over {MA + MD}} = {{NC} \over {NB + NC}} \Rightarrow {{MD} \over {DA}} = {{NC} \over {CB}}\)
Bài 5 trang 83 Sách bài tập Toán 8 tập 2
Cho tam giác ABC. Từ điểm D trên cạnh BC, kẻ các đường thẳng song song với các cạnh AB và AC, chúng cắt các cạnh AC và AB theo thứ tự tại F và E (hình dưới)
Chứng minh rằng :
\({{AE} \over {AB}} + {{AF} \over {AC}} = 1\)
Giải:
(xem hình 4)
Trong ∆ ABC ta có: DE // AC (gt)
Suy ra: \({{AE} \over {AB}} = {{CD} \over {CB}}\) (định lí Ta-lét) (1)
Lại có: DF // AB (gt)
Suy ra: \({{AF} \over {AC}} = {{BD} \over {BC}}\) (định lí Ta-lét) (2)
Cộng trừ vế (1) và (2), ta có:
\({{AE} \over {AB}} + {{AF} \over {AC}} = {{CD} \over {CB}} + {{BD} \over {BC}} = {{CD + BD} \over {BC}} = {{BC} \over {BC}} = 1\)
Câu 1.1 trang 83
Hai đoạn thẳng AB = 35cm, CD = 105cm tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ = 75cm và C’D’
Đoạn thẳng C’D’ có độ dài (theo đơn vị cm) là :
A. 25
B. 49
C. 225
D. 315
Câu 1.2
Tam giác ABC vuông tại A có đường cao là AD (D ∈ BC). Từ D, kẻ DE vuông góc với AB (E ∈ AB) và DF vuông góc với AC (F ∈ AC).
Hỏi rằng, khi độ dài các cạnh AB, AC thay đổi thì tổng \({{AE} \over {AB}} + {{AF} \over {AC}}\) có thay đổi hay không ? Vì sao?.
Giải:
DE và CA cùng vuông góc với AB, do đó
DE // AC.
Theo định lí Ta-lét, ta có:
\({{AE} \over {AB}} = {{CD} \over {CB}}\) (1)
Tương tự, ta có: DF // AB, do đó:
\({{AF} \over {AC}} = {{BD} \over {BC}}\) (2)
Cộng các vế tương ứng của (1) và (2), ta có:
\({{AE} \over {AB}} + {{AF} \over {AC}} = {{CD} \over {CB}} + {{BD} \over {BC}} = {{CD + BD} \over {BC}} = {{BC} \over {BC}} = 1\)
Tổng \({{AE} \over {AB}} + {{AF} \over {AC}}\) không thay đổi vì luôn có giá trị bằng 1.
Vậy : Khi độ dài cạnh góc vuông AB, AC của tam giác vuông ABC thay đổi thì tổng \({{AE} \over {AB}} + {{AF} \over {AC}}\) luôn luôn không thay đổi. Tổng đó luôn có giá trị bằng 1.
Trả lời