Câu 4.1 trang 133 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Chứng minh rằng các dãy số sau với số hạng tổng quát có giới hạn 0:
a) \({{{{\left( { – 1} \right)}^n}} \over n+ {1 \over 2}}\)
b) \({1 \over {n!}}\)
c) \({{\sin n} \over {n\sqrt n + 1}}\)
Giải
a) \(\left| {{{{{\left( { – 1} \right)}^n}} \over {n + {1 \over 2}}}} \right| = {1 \over {\left| {n + {1 \over 2}} \right|}} \le {1 \over n};\,\,\forall n > 0\)
\(\lim {1 \over n} = 0\)
Do đó: \(\lim {{{{\left( { – 1} \right)}^n}} \over {n + {1 \over 2}}} = 0\)
b) \({1 \over {n!}} = {1 \over {1.2…n}} \le {1 \over n};\,\,\forall n > 0\)
\(\lim {1 \over n} = 0\)
Do đó: \(\lim {1 \over {n!}} = 0\)
c) Vì \(\left| {{{\sin n} \over {n\sqrt n + 1}}} \right| = {{\left| {\sin n} \right|} \over {n\sqrt n + 1}} \le {1 \over n}\) với mọi n và \(\lim {1 \over n} = 0\) nên
\(\lim {{\sin n} \over {n\sqrt n + 1}} = 0\)
Câu 4.2 trang 133 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Chứng minh rằng hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) với
\({u_n} = {{1 + \cos {n^2}} \over {2n + 1}};\,\,{v_n} = {{1 + \sin 2n} \over {{n^2} + n}}\)
Có giới hạn 0
Giải
\(0 \le {{1 + \cos {n^2}} \over {2n + 1}} \le {2 \over {2n + 1}} \le {1 \over n}\)
Do đó \(\lim {u_n} = 0\)
\(0 \le {v_n} \le {{n + 1} \over {n\left( {n + 1} \right)}} = {1 \over n}\)
Do đó \(\lim {v_n} = 0\)
Câu 4.4 trang 133 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi
\(\left\{ \matrix{
{u_1} = {1 \over 4} \hfill \cr
{u_{n + 1}} = u_n^2 + {{{u_n}} \over 2}\,\,\,\,\,voi\,\,moi\,\,\,n \hfill \cr} \right.\)
Chứng minh rằng
a) \(0 < {u_n} \le {1 \over 4}\) với mọi n
b) \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} \le {3 \over 4}\)với mọi n
Từ đó suy ra \(\lim {u_n} = 0\)
Giải
a) \(0 < {u_n} \le {1 \over 4}\) với mọi n (1)
+) Với n = 1 \({u_1} = {1 \over 4}\), (1) đúng
+) Giả sử (1) đúng với n = k ta có \(0<u_k\le {1 \over 4}\)
Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1
\({u_{k + 1}} = u_k^2 + {{{u_k}} \over 2} = {u_k}.\left( {{u_k} + {1 \over 2}} \right) \le {1 \over 4}\)
\(\left( {do\,\,0 < {u_k} \le {1 \over 4}} \right)\)
Vậy (1) đã được chứng minh.
b) \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {u_n} + {1 \over 2} \le {1 \over 4} + {1 \over 2} = {3 \over 4}\) với mọi n
Từ đó suy ra
\(\eqalign{
& {u_2} \le {3 \over 4}{u_1} \cr
& {u_3} \le {3 \over 4}{u_2} \le {\left( {{3 \over 4}} \right)^2}{u_1},… \cr
& 0 \le {u_n} < {\left( {{3 \over 4}} \right)^{n – 1}}{u_1} = {1 \over 4}{\left( {{3 \over 4}} \right)^{n – 1}} \cr} \)
Câu 4.6 trang 134 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Chứng minh rằng
a) \(\lim 2\left( {\sqrt {{n^2} + 1} – n} \right) = 0\)
b) \(\lim \left( {\sqrt {n + 1} – \sqrt n } \right) = 0\)
Giải
a) Nhân và chia biểu thức đã cho với \(\sqrt {{n^2} + 1} + n,\) ta được
\(2\left( {\sqrt {{n^2} + 1} – n} \right) = {2 \over {\sqrt {{n^2} + 1} + n}} \le {2 \over {n + n}} = {1 \over n}\)
Vậy \(\lim 2\left( {\sqrt {{n^2} + 1} – n} \right) = 0\)
b) Nhân và chia biểu thức đã cho với \( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }\)
\(\sqrt {n + 1} – \sqrt n = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \le {1 \over {2n}}\)
Vậy \(\lim \left( {\sqrt {n + 1} – \sqrt n } \right) = 0\)
Trả lời