Biết rằng hai số phức \({z_1}\), \({z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} – 3 – 4{\rm{i}}} \right| = 1\) và \(\left| {{z_2} – 3 – 4{\rm{i}}} \right| = \frac{1}{2}\). Số phức \(z\) có phần thực là \(a\) và phần ảo là \(b\) thỏa mãn \(3a – 2b = 12\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = \left| {z – {z_1}} \right| + \left| {z – 2{z_2}} \right| + 2\) là
A. \({P_{\min }} = \frac{{\sqrt {9945} }}{{11}}\).
B. \({P_{\min }} = 5 – 2\sqrt 3 \).
C. \({P_{\min }} = 5 + 2\sqrt 5 \).
D. \({P_{\min }} = \frac{{\sqrt {9945} }}{{13}}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \({M_1}\), \({M_2}\), \(M\) lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức \({z_1}\), \(2{z_2}\), \(z\) trên hệ trục tọa độ \(Oxy\). Khi đó, điểm \({M_1}\) thuộc đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) tâm \({I_1}\left( {3;4} \right)\), bán kính \(R = 1\); điểm \({M_2}\) thuộc đường \(\left( {{C_2}} \right)\) tròn tâm \({I_2}\left( {6;8} \right)\), bán kính \(R = 1\); điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(d:3x – 2y – 12 = 0\).
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = M{M_1} + M{M_2} + 2\).
Gọi \(\left( {{C_3}} \right)\) có tâm \({I_3}\left( {\frac{{138}}{{13}};\frac{{64}}{{13}}} \right)\), \(R = 1\) là đường tròn đối xứng với \(\left( {{C_2}} \right)\) qua \(d\). Khi đó \(\min \left( {M{M_1} + M{M_2} + 2} \right) = \min \left( {M{M_1} + M{M_3} + 2} \right)\) với \({M_3} \in \left( {{C_3}} \right)\).
Gọi \(A\), \(B\) lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng \({I_1}{I_3}\) với \(\left( {{C_1}} \right)\), \(\left( {{C_3}} \right)\). Khi đó với mọi điểm \({M_1} \in \left( {{C_1}} \right)\), \({M_3} \in \left( {{C_3}} \right)\), \(M \in d\) ta có \(M{M_1} + M{M_3} + 2 \ge AB + 2\), dấu “=” xảy ra khi \({M_1} \equiv A,{M_3} \equiv B\). Do đó \({P_{\min }} = AB + 2 = {I_1}{I_3} – 2 + 2\)\( = {I_1}{I_3} = \frac{{\sqrt {9945} }}{{13}}\).
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời