Cho các số phức \({z_1},\) \({z_2}\) thoả mãn: \(\,\left| {{z_1}} \right|\, = \,1\,\,;\,{\bar z_2}\left[ {{z_2} – (1 – i)} \right] + 2 – 6i\) là một số thực. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \,{\left| {\,{z_2}\,} \right|^2} – \left( {{z_1}{{\bar z}_2} + {{\bar z}_1}{z_2}} \right)\) là
A. \(1 + 2\sqrt {10} .\)
B. \(18 – 6\sqrt 2 .\)
C. \(1 – 2\sqrt {10} .\)
D. \(3\sqrt 2 – 2.\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(M(a;b)\) là điểmbiểu số của phức \({z_1} = a + bi\) và \(N(c;d)\) là điểmbiểu của số phức \({z_2} = c + di\)
Điều kiện: \(a,b,c,d \in \mathbb{R}\)
Ta có:
\(\left| {{z_1}} \right| = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1\)\( \Rightarrow M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(O,\) bán kính \(R = 1.\)
\(w = {\bar z_2}\left[ {{z_2} – (1 – i)} \right] + 2 – 6i = \left( {c – di} \right)\left[ {(c – 1) + (d + 1)i} \right] + 2 – 6i\,\), với \({\bar z_2} = c – di;\)
\( \Leftrightarrow w = c(c – 1) + d(d + 1) + 2 + \left[ {c(d + 1) – d(c – 1) – 6} \right]i\)
\(w\) là số thực \( \Leftrightarrow c(d + 1) – d(c – 1) – 6 = 0 \Leftrightarrow c + d – 6 = 0\)
\( \Rightarrow N\) thuộc đường thẳng \(\Delta 😡 + y – 6 = 0\)
Ta có \(d(O;\Delta ) > 1\) nên \(\Delta \) và \((C)\) không có điểm chung
Khi đó: \(P = \,{\left| {\,{z_2}\,} \right|^2} – \left( {{z_1}{{\bar z}_2} + {{\bar z}_1}{z_2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow P = {c^2} + {d^2} – 2(ac + bd) = {(c – a)^2} + {(b – d)^2} – 1 = M{N^2} – 1\)
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(\Delta 😡 + y – 6 = 0 \Rightarrow H(3;3)\)
Đoạn \(OH\) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) tại \(I\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)
Với \(N\) thuộc đường thẳng \(\Delta \), \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\), ta có:
\(MN \ge {\rm{ }}ON – OM{\rm{ }} \ge {\rm{ }}OH – OI = IH = {\rm{ }}3\sqrt 2 – 1\).
Đẳng thức xảy ra khi \(M \equiv I;N \equiv H\)
\( \Rightarrow P \ge {\left( {3\sqrt 2 – 1} \right)^2} – 1 = 18 – 6\sqrt 2 \).
Đẳng thức xảy ra khi \({z_1} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i;{z_2} = 3 + 3i\)
Vậy \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(18 – 6\sqrt 2 \) khi \({z_1} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i;{z_2} = 3 + 3i\).
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời